Exercice 10, § 4

a) Il existe une représentation irréductible $\pi$ de type orthogonal du groupe alterné $\mathfrak{A}_5$ telle que $M_4(\pi ) = 3$.

b) Soient R un système de racines de type $\mathbf{E}_6$ (resp. de type $\mathbf{E}_7$, de type $\mathbf{E}_8$) et W le groupe de Weyl de R. Soit $\pi$ la représentation géométrique de W (LIE, V, § 4, n$^o3$). Elle est irréductible, de type orthogonal, et vérifie $M_4(\pi ) = 3$. (On pourra utiliser un logiciel tel que GAP ou Magma pour déterminer la liste des classes de conjugaison de W et leurs images par $\pi .$)