Exercice 13, § 4

Soit G un groupe de Lie compact semisimple connexe et $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. On suppose qu’il existe une représentation irréductible fidèle $\varrho$ de dimension 27 de G. On suppose que le quatrième moment de $\varrho$ est égal à 3 et que la représentation $\varrho$ est de type complexe.

a) L’algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ est simple.

b) L’algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ est isomorphe à $\mathfrak{e}_6$.