Exercice 15, § 4

Soient $q$ une puissance d’un nombre premier impair et F un corps fini à $q$ éléments. On considère le groupe de Heisenberg $H_3(F)$ des matrices de taille 3 à coefficients dans F qui sont triangulaires supérieures et unipotentes. Pour $(a, b, c)\in F^3$, on note

0 0 1

L’application $\sigma$ est donc une bijection.

a) Le centre C de $H_3(F)$ s’identifie à F par l’homomorphisme de groupes tel que $\sigma (a, b, c)\mapsto c$.

b) Il existe $q^2$ caractères unitaires de dimension 1 de $H_3(F)$; ces caractères sont triviaux sur C.

c) Soit X le sous-groupe d’indice $q$ de F formé par les éléments $\sigma (0, b, c)$ pour $(b, c)\in F^2$. Le sous-groupe X s’identifie à $F^2$. Soient $\psi_1$ et $\psi_2$ des caractères unitaires de F et posons $\psi (\sigma (0, b, c)) =\psi_1(b)\psi_2(c)$. La représentation unitaire $\varrho$ de $H_3(F)$ induite par le caractère $\psi$ de X est irréductible si et seulement si $\psi_2$ est non trivial ; elle ne dépend que de $\psi_2$ à isomorphisme près, et son caractère central est égal à $\psi_2$. Le support du caractère de $\varrho$ est égal à C.

d) Les représentations irréductibles construites dans les deux questions précédentes sont toutes les représentations unitaires irréductibles de $H_3(F)$. e) Soit $\varrho$ une des représentations unitaires irréductibles de dimension $q$ de $H_3(F)$. La représentation $\varrho$ est fidèle et vérifie $M_4(\varrho ) =q^2$.