Bài tập 15, § 4

Cho $q$ là một lũy thừa của một số nguyên tố lẻ và F là một trường hữu hạn có $q$ phần tử. Xét nhóm Heisenberg $H_3(F)$ gồm các ma trận cấp 3 với các hệ số trong F là tam giác trên và đơn vị. Với $(a, b, c)\in F^3$, viết

0 0 1

Ánh xạ $\sigma$ do đó là một song ánh.

a) Tâm C của $H_3(F)$ được đồng nhất với F bởi đồng cấu nhóm sao cho $\sigma (a, b, c)\mapsto c$.

b) Tồn tại $q^2$ đặc trưng unita chiều 1 của $H_3(F)$; các đặc trưng này là tầm thường trên C.

c) Cho X là nhóm con chỉ số $q$ của F được tạo thành bởi các phần tử $\sigma (0, b, c)$ với $(b, c)\in F^2$. Nhóm con X được đồng nhất với $F^2$. Cho $\psi_1$ và $\psi_2$ là các đặc trưng unita của F và đặt $\psi (\sigma (0, b, c)) =\psi_1(b)\psi_2(c)$. Biểu diễn unita $\varrho$ của $H_3(F)$ cảm sinh bởi đặc trưng $\psi$ của X là bất khả quy khi và chỉ khi $\psi_2$ không tầm thường; nó chỉ phụ thuộc vào $\psi_2$ sai khác một đẳng cấu, và đặc trưng trung tâm của nó bằng $\psi_2$. Giá đỡ của đặc trưng của $\varrho$ bằng C.

d) Các biểu diễn bất khả quy được xây dựng trong hai câu hỏi trước là tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của $H_3(F)$.

e) Cho $\varrho$ là một trong các biểu diễn unita bất khả quy chiều $q$ của $H_3(F)$. Biểu diễn $\varrho$ là trung thành và thỏa mãn $M_4(\varrho ) =q^2$.