Exercice 16, § 4

Soient $r\geqslant 1$ un entier et G un sous-groupe compact connexe de $\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$ agissant de manière irréductible sur $\mathbf{C}^r$. On note D le sous-groupe des matrices diagonales dans $\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$.

a) Soit A un sous-groupe de D contenu dans le normalisateur de G dans $\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$. Soit S le sous-ensemble de $\widehat{A}$ formé par les coefficients diagonaux $a= (a_{i,j})\mapsto a_{i,i}$, où $1\leqslant i\leqslant r$. On suppose que S contient $r$ éléments et que l’équation

avec $\chi_i\in$ S admet les seules solutions de la forme $(\chi_1, \chi_1, \chi_3, \chi_3)$ et $(\chi_1, \chi_2, \chi_1, \chi_2)$ (on dit alors que S est un ensemble de Sidon).

Si G est semisimple, démontrer que $G =\mathbf{S}\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$. (Considérer la représentation de A sur End($\mathbf{C}^r$), et déduire de l’hypothèse que l’algèbre de Lie complexifiée de G est stable par conjugaison par D.)

b) Le groupe G contient $\mathbf{S}\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$ si et seulement si il existe un élément $g\in G$ tel que les valeurs propres de $g$ soient distinctes et forment un ensemble de Sidon dans $\mathbf{C}^*$.