Bài tập 16, § 4

Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên và G là một nhóm con liên thông compact của $\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$ tác động bất khả quy trên $\mathbf{C}^r$. Gọi D là nhóm con của các ma trận đường chéo trong $\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$.

a) Cho A là một nhóm con của D được chứa trong chuẩn hóa tử của G trong $\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$. Gọi S là tập con của $\widehat{A}$ tạo bởi các hệ số đường chéo $a= (a_{i,j})\mapsto a_{i,i}$, trong đó $1\leqslant i\leqslant r$. Giả sử rằng S chứa $r$ phần tử và phương trình

với $\chi_i\in$ S chỉ có các nghiệm có dạng $(\chi_1, \chi_1, \chi_3, \chi_3)$ và $(\chi_1, \chi_2, \chi_1, \chi_2)$ (khi đó người ta nói rằng S là một tập Sidon).

Nếu G là nửa đơn, hãy chứng minh rằng $G =\mathbf{S}\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$. (Xét biểu diễn của A trên End($\mathbf{C}^r$), và suy ra từ giả thiết rằng đại số Lie phức hóa của G là ổn định qua phép liên hợp bởi D.)

b) Nhóm G chứa $\mathbf{S}\mathbf{U}(\mathbf{C}^r)$ khi và chỉ khi tồn tại một phần tử $g\in G$ sao cho các trị riêng của $g$ là phân biệt và tạo thành một tập Sidon trong $\mathbf{C}^*$.