Exercice 18, § 4

On suppose que G est compact. Soient $\varrho$ et $\varrho '$ des représentations unitaires de G. La représentation $\varrho$ est faiblement contenue dans $\varrho '($cf. exercice 11 de V, p. 497) si et seulement si pour toute représentation unitaire irréductible $\pi$ de G, la condition $m_{\pi}(\varrho )\geqslant 1$ implique que $m_{\pi}(\varrho ')\geqslant 1$. (Se ramener au cas où $\varrho '$ est irréductible ; pour tout coefficient matriciel diagonal normalisé $f$ de $\varrho$, démontrer en appliquant l’exercice 13 de V, p. 498 qu’il existe un coefficient matriciel diagonal de $\varrho '$ qui n’est pas orthogonal à $f$, et conclure en utilisant les relations d’orthogonalité.)