Exercice 2, § 4

Soient $n\geqslant 1$ et $p\in [1,+\infty ]$. On munit $\mathbf{R}^n$ de la norme

$n$

$\|x\|=(\sum_{i=1}|x_i|^p)^{1/p}$ si $p\not = +\infty$, et $\|x\|=$ sup$_i|x_i|$ si $p= +\infty$. Soit G le groupe des isométries de l’espace métrique $\mathbf{R}^n$ muni de cette norme.

a) Soient $\sigma$ une permutation de $\{1, . . . , n\}$ et $\varepsilon \in \{-1,1\}^n$. Soit $(e_i)$ la base canonique de $\mathbf{R}^n$. L’unique endomorphisme de $\mathbf{R}^n$ tel que $e_i\mapsto \varepsilon_ie_{\sigma(i)}$ appartient à G. L’ensemble des isométries de cette forme est un sous-groupe W de G ; c’est une extension de $\mathfrak{S}_n$ par $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^n$.

b) Le groupe G est compact.

c) L’action du groupe G sur $\mathbf{R}^n$ est irréductible ; le groupe G est contenu dans le groupe orthogonal de la forme quadratique $\sum x^2_i$.

d) Si $p\not = 2$, alors G = W.