Bài tập 2, § 4

Cho $n\geqslant 1$ và $p\in [1,+\infty ]$. Trang bị cho $\mathbf{R}^n$ chuẩn

$n$

$\|x\|=(\sum_{i=1}|x_i|^p)^{1/p}$ nếu $p\not = +\infty$, và $\|x\|=$ sup$_i|x_i|$ nếu $p= +\infty$. Gọi G là nhóm các đẳng cự của không gian mêtric $\mathbf{R}^n$ được trang bị chuẩn này.

a) Cho $\sigma$ là một phép hoán vị của $\{1, . . . , n\}$ và $\varepsilon \in \{-1,1\}^n$. Gọi $(e_i)$ là cơ sở chính tắc của $\mathbf{R}^n$. Chứng minh rằng tự đồng cấu duy nhất của $\mathbf{R}^n$ sao cho $e_i\mapsto \varepsilon_ie_{\sigma(i)}$ thuộc G. Chứng minh rằng tập hợp các đẳng cự có dạng này là một nhóm con W của G; nó là một mở rộng của $\mathfrak{S}_n$ bởi $(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^n$.

b) Chứng minh rằng nhóm G là compact.

c) Chứng minh rằng tác động của nhóm G trên $\mathbf{R}^n$ là bất khả quy; nhóm G được chứa trong nhóm trực giao của dạng toàn phương $\sum x^2_i$.

d) Chứng minh rằng nếu $p\not = 2$, thì G = W.