Exercice 20, § 4

Soient H un groupe topologique localement compact muni d’une mesure de Haar à gauche $\nu$ et G un sous-groupe compact de H. Soit $\varrho$ une représentation unitaire irréductible de H dans un espace hilbertien E.

On suppose que la multiplicité de $\pi$ dans la restriction de $\varrho$ à G est finie pour toute représentation irréductible $\pi \in \widehat{G}$. On identifie une fonction sur G à une mesure à support compact sur H.

a) Pour tout $\pi \in \widehat{G}$, l’endomorphisme $\varrho (f*\chi_{\pi})$ de E est de rang fini.

b) Pour tout $f\in L^1$(H), l’endomorphisme $\varrho (f)$ est compact.