Bài tập 20, § 4

Cho H là một nhóm tôpô compact địa phương được trang bị một độ đo Haar trái $\nu$, và G là một nhóm con compact của H. Cho $\varrho$ là một biểu diễn unita bất khả quy của H trong một không gian Hilbert E.

Giả sử rằng bội số của $\pi$ trong hạn chế của $\varrho$ lên G là hữu hạn đối với mọi biểu diễn bất khả quy $\pi \in \widehat{G}$. Ta đồng nhất một hàm trên G với một độ đo có giá compact trên H.

a) Với mọi $\pi \in \widehat{G}$, tự đồng cấu $\varrho (f*\chi_{\pi})$ của E có hạng hữu hạn.

b) Với mọi $f\in L^1$(H), tự đồng cấu $\varrho (f)$ là compact.