Exercice 21, § 4

Soit $n\geqslant 1$ un entier.

a) Pour tout entier $r > n^2$ et toute famille $(a_1, . . . , a_r)$ d’éléments de $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$, on a

b) On note $r(n)$ le plus petit entier $r\geqslant 1$ tel que la formule (4) soit valide pour toute famille $(a_i)_{1\leqslant i\leqslant r}$. On a $r(n)\geqslant r(n-1) + 2$. (Considérer une famille $(a_1, . . . , a_{r(n-1)-1})$ dans $\mathscr{L}(\mathbf{C}^{n-1})$ telle que l’expression ci-dessus, notée $b$, est non nulle ; en interprétant les éléments de $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$ comme des matrices, choisir $i$ et $j$ tels que $b_{i,j}$ est non nul ; voir $a_i$ et $b$ comme des éléments de $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$ en ajoutant une ligne et une colonne de zéros, puis définir des matrices $a_{r(n-1)}$ et $a_{r(n-1)+1}$ de manière que l’expression (4) pour $(a_1, . . . , a_{r(n-1)+1})$ soit non nulle.)