Bài tập 21, § 4

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên.

a) Với mọi số nguyên $r > n^2$ và mọi họ $(a_1, . . . , a_r)$ các phần tử của $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$, ta có

b) Gọi $r(n)$ là số nguyên nhỏ nhất $r\geqslant 1$ sao cho công thức (4) đúng với mọi họ $(a_i)_{1\leqslant i\leqslant r}$. Ta có $r(n)\geqslant r(n-1) + 2$. (Xét một họ $(a_1, . . . , a_{r(n-1)-1})$ trong $\mathscr{L}(\mathbf{C}^{n-1})$ sao cho biểu thức trên, ký hiệu là $b$, là khác không; xem các phần tử của $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$ như các ma trận, chọn $i$ và $j$ sao cho $b_{i,j}$ là khác không; xem $a_i$ và $b$ như các phần tử của $\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$ bằng cách thêm một hàng và một cột toàn số không, sau đó định nghĩa các ma trận $a_{r(n-1)}$ và $a_{r(n-1)+1}$ sao cho biểu thức (4) đối với $(a_1, . . . , a_{r(n-1)+1})$ là khác không.)