Exercice 22, § 4

Soit $r\geqslant 1$ un entier et soit $H\subset \mathbf{G}\mathbf{L}(r,\mathbf{C})$ un sous-groupe fermé.

a) L’ensemble des fonctions sur H de la forme $g\mapsto \langle \varrho (g)x, \lambda \rangle$, où $\varrho$ est une représentation linéaire continue de H dans un espace vectoriel complexe E de dimension finie, $x\in E$ et $\lambda \in E'$, est une sous-algèbre involutive dense de $\mathscr{C}(H)$.

b) Pour toute fonction $f\in \mathscr{K}(H)$ non nul, il existe une représentation linéaire continue $\varrho$ de H dans un espace vectoriel complexe de dimension finie telle que $\varrho (f)$ est non nul. c) On suppose que H est un groupe de Lie réel semisimple et connexe. Pour tout $f\in \mathscr{K}(H)$ non nul, il existe une représentation linéaire continue irréductible $\varrho$ de H dans un espace vectoriel complexe de dimension finie telle que $\varrho (f)$ est non nul.