Bài tập 22, § 4

Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên và cho $H\subset \mathbf{G}\mathbf{L}(r,\mathbf{C})$ là một nhóm con đóng.

a) Tập hợp các hàm trên H có dạng $g\mapsto \langle \varrho (g)x, \lambda \rangle$, trong đó $\varrho$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của H trong một không gian vectơ phức hữu hạn chiều E, $x\in E$ và $\lambda \in E'$, là một đại số con trù mật ổn định qua phép đối hợp của $\mathscr{C}(H)$.

b) Với mọi hàm khác không $f\in \mathscr{K}(H)$, tồn tại một biểu diễn tuyến tính liên tục $\varrho$ của H trong một không gian vectơ phức hữu hạn chiều sao cho $\varrho (f)$ là khác không.

c) Giả sử rằng H là một nhóm Lie thực nửa đơn liên thông. Với mọi hàm khác không $f\in \mathscr{K}(H)$, tồn tại một biểu diễn tuyến tính liên tục bất khả quy $\varrho$ của H trong một không gian vectơ phức hữu hạn chiều sao cho $\varrho (f)$ là khác không.