Exercice 24, § 4

Un groupe topologique G est dit minimalement presque périodique si tout homomorphisme continu de G dans un groupe compact est trivial.

a) Un groupe topologique G est minimalement presque périodique si et seulement si G n’admet pas de représentation unitaire de dimension finie non triviale. Si G est commutatif, alors G est minimalement presque périodique si et seulement si tout caractère unitaire continu de G est trivial. b) Soient G un groupe topologique et $g\in G$ tel que, pour tout entier $k\geqslant 1$, il existe un entier $m\geqslant 1$ tel que $g^{km}$ est conjugué à $g$. On a alors $\varrho (g) = 1_E$ pour toute représentation unitaire $\varrho$ de dimension finie de G dans un espace hilbertien E.

c) Soit $k$ un sous-corps de $\mathbf{C}$. Le groupe $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ muni de la topologie discrète est minimalement presque périodique. (Vérifier que la question précédente

s’applique à pour tout $z\in k.)$

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