Bài tập 24, § 4

Một nhóm tôpô G được gọi là hầu tuần hoàn tối tiểu nếu mọi đồng cấu liên tục của G vào một nhóm compắc đều là tầm thường.

a) Một nhóm tôpô G là hầu tuần hoàn tối tiểu khi và chỉ khi G không thừa nhận biểu diễn unita hữu hạn chiều không tầm thường nào. Nếu G giao hoán, thì G là hầu tuần hoàn tối tiểu khi và chỉ khi mọi đặc trưng unita liên tục của G đều là tầm thường. b) Cho G là một nhóm tôpô và cho $g\in G$ sao cho, với mọi số nguyên $k\geqslant 1$, tồn tại một số nguyên $m\geqslant 1$ sao cho $g^{km}$ liên hợp với $g$. Khi đó $\varrho (g) = 1_E$ đối với mọi biểu diễn unita hữu hạn chiều $\varrho$ của G trong một không gian Hilbert E.

c) Cho $k$ là một trường con của $\mathbf{C}$. Nhóm $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ được trang bị tôpô rời rạc là hầu tuần hoàn tối tiểu. (Hãy kiểm tra rằng câu hỏi trước đó

áp dụng được với mọi $z\in k.)$

0 1