Exercice 25, § 4

Soient G un groupe localement compact muni d’une mesure de Haar à gauche $\nu$ et $K\subset G$ un sous-groupe compact de G muni de la mesure de Haar normalisée $\mu$.

On note $\mathscr{H}(G,K)$ l’espace des fonctions $\varphi \in \mathscr{K}(G)$ telles que $\varphi (k_1gk_2) =$ $\varphi (g)$ pour tout $g\in G$ et tout $(k_1, k_2)\in K\times K$.

L’espace $\mathscr{H}(G,K)$ est une sous-algèbre unifère de l’algèbre $\mathscr{M}_c(G)$; on dit que $(G,K)$ est un couple de Gelfand si l’algèbre $\mathscr{H}(G,K)$ est commutative. a) L’application $u^K$ qui à $f$ associe la fonction $f^K$ définie par

est un projecteur dans $\mathscr{K}(G)$ dont l’image est $\mathscr{H}(G,K)$.

b) Soit $f\in \mathscr{K}(G)$. On a

et $(f \varphi )^K=f^K\varphi$ pour toute fonction $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$.

c) Soit $C\subset G$ une partie compacte. Il existe une fonction $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ telle que $\varphi (x) = 1$ pour tout $x\in C$.

d) Soit $(G,K)$ une paire de Gelfand. Le groupe G est unimodulaire. (Remarquer que le module de G appartient à $\mathscr{H}(G,K)$ et interpréter l’intégrale de $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ comme la valeur en $e$ d’une convolution bien choisie.)

e) Supposons qu’il existe une involution continue $\theta : G\rightarrow$ G telle que $K\theta (x)K = Kx^{-1}K$ pour tout $x\in G$. Alors $(G,K)$ est une paire de Gelfand. (Vérifier que l’application $f\mapsto \nu (f\circ \theta )$ sur $\mathscr{K}(G)$ est une mesure de Haar à gauche sur G, puis qu’elle est égale à $\nu$; en déduire que $(f*g)\circ \theta = (f\circ \theta )*(g\circ \theta )$ et comparer avec la formule $f\widecheck{*}g=\check{g}*\check{f}.$)

f ) Si G est compact, alors $(G\times G,\Delta )$ est une paire de Gelfand, où Δ est le sous-groupe diagonal de $G\times G$ image de l’homomorphisme $x\mapsto (x, x)$ de G dans $G\times G$.