Bài tập 25, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương được trang bị một độ đo Haar trái $\nu$ và cho $K\subset G$ là một nhóm con compact của G được trang bị độ đo Haar chuẩn hóa $\mu$.

Ta ký hiệu bởi $\mathscr{H}(G,K)$ không gian các hàm $\varphi \in \mathscr{K}(G)$ sao cho $\varphi (k_1gk_2) =$ $\varphi (g)$ với mọi $g\in G$ và mọi $(k_1, k_2)\in K\times K$.

Không gian $\mathscr{H}(G,K)$ là một đại số con có đơn vị của đại số $\mathscr{M}_c(G)$; người ta nói rằng $(G,K)$ là một cặp Gelfand nếu đại số $\mathscr{H}(G,K)$ là giao hoán. (a) Ánh xạ $u^K$ gắn với $f$ hàm $f^K$ được xác định bởi

là một phép chiếu trong $\mathscr{K}(G)$ có ảnh là $\mathscr{H}(G,K)$.

(b) Cho $f\in \mathscr{K}(G)$. Ta có

và $(f \varphi )^K=f^K\varphi$ với mọi hàm $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$.

(c) Cho $C\subset G$ là một tập con compact. Tồn tại một hàm $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ sao cho $\varphi (x) = 1$ với mọi $x\in C$.

(d) Cho $(G,K)$ là một cặp Gelfand. Nhóm G là đơn môđula. (Chú ý rằng môđun của G thuộc về $\mathscr{H}(G,K)$ và giải thích tích phân của $\varphi \in \mathscr{H}(G,K)$ như là giá trị tại $e$ của một phép chập được chọn thích hợp.)

(e) Giả sử tồn tại một đối hợp liên tục $\theta : G\rightarrow$ G sao cho $K\theta (x)K = Kx^{-1}K$ với mọi $x\in G$. Khi đó $(G,K)$ là một cặp Gelfand. (Kiểm tra rằng ánh xạ $f\mapsto \nu (f\circ \theta )$ trên $\mathscr{K}(G)$ là một độ đo Haar trái trên G, rồi rằng nó bằng $\nu$; suy ra rằng $(f*g)\circ \theta = (f\circ \theta )*(g\circ \theta )$ và so sánh với công thức $f\widecheck{*}g=\check{g}*\check{f}$.)

(f ) Nếu G compact, thì $(G\times G,\Delta )$ là một cặp Gelfand, trong đó Δ là nhóm con đường chéo của $G\times G$ là ảnh của đồng cấu $x\mapsto (x, x)$ của G vào $G\times G$.