Exercice 3, § 4

On rappelle qu’un groupe Γ est dit résiduellement fini si l’intersection des sous-groupes d’indice fini de Γ est réduite à $\{e\}$ (A, I, p. 129, exerc. 5, b)).

Pour un groupe Γ, on note $\widehat{\Gamma}$ la limite projective $\widehat{\Gamma} =$ lim$\Gamma /H$, où H

parcourt l’ensemble des sous-groupes distingués d’indice fini de Γ, ordonné par l’inclusion. On dit que $\widehat{\Gamma}$ est la complétion profinie de Γ.

a) Un groupe Γ est résiduellement fini si et seulement si, pour tout $g\in \Gamma$ différent de l’élément neutre, il existe un groupe fini F et un homomorphisme $\varphi : \Gamma \rightarrow F$ tel que $\varphi (\gamma )\not =e$.

b) Montrer que Γ est résiduellement fini si et seulement si l’homomorphisme canonique de Γ dans $\widehat{\Gamma}$ est injectif.

c) Soit K un corps. Tout sous-groupe de type fini (cf. A, I, p. 145, exerc. 16) de $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ est résiduellement fini (« théorème de Mal’tsev »). (Montrer qu’il existe un entier $m\geqslant 0$, un anneau A égal à $\mathbf{Z}$ ou à un corps fini et un homomorphisme injectif d’un tel sous-groupe dans $\mathbf{G}\mathbf{L}(m,R)$, où R est de la forme $A[X_1, . . . ,X_r,1/f].$)

d) Soit Γ un groupe discret de type fini. Supposons qu’il existe un homomorphisme injectif de Γ dans un groupe topologique compact. Pour tout $\gamma \in \Gamma$ différent de l’élément neutre, il existe une représentation irréductible unitaire de dimension finie de Γ telle que l’image de $\gamma$ par $\pi$ n’est pas l’application identique.

e) Un groupe de type fini est résiduellement fini si et seulement s’il est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe compact.