Bài tập 3, § 4

Nhớ lại rằng một nhóm Γ được gọi là thặng dư hữu hạn nếu giao của các nhóm con chỉ số hữu hạn của Γ thu về $\{e\}$ (A, I, p. 129, exerc. 5, b)).

Với một nhóm Γ, ký hiệu $\widehat{\Gamma}$ là giới hạn xạ ảnh $\widehat{\Gamma} =$ lim$\Gamma /H$, trong đó H

chạy qua tập hợp các nhóm con chuẩn tắc chỉ số hữu hạn của Γ, được sắp thứ tự theo bao hàm. Người ta nói rằng $\widehat{\Gamma}$ là hoàn chỉnh profini của Γ.

a) Một nhóm Γ là thặng dư hữu hạn khi và chỉ khi, với mọi $g\in \Gamma$ khác phần tử đơn vị, tồn tại một nhóm hữu hạn F và một đồng cấu $\varphi : \Gamma \rightarrow F$ sao cho $\varphi (\gamma )\not =e$.

b) Bây giờ chứng minh rằng Γ là thặng dư hữu hạn khi và chỉ khi đồng cấu chính tắc từ Γ vào $\widehat{\Gamma}$ là đơn cấu.

c) Cho K là một trường. Mọi nhóm con sinh hữu hạn (xem A, I, p. 145, exerc. 16) của $\mathbf{G}\mathbf{L}(n,K)$ đều là thặng dư hữu hạn ("định lý Mal'tsev"). (Hãy chỉ ra rằng tồn tại một số nguyên $m\geqslant 0$, một vành A bằng $\mathbf{Z}$ hoặc một trường hữu hạn, và một đơn cấu của một nhóm con như thế vào $\mathbf{G}\mathbf{L}(m,R)$, trong đó R có dạng $A[X_1, . . . ,X_r,1/f].$)

d) Cho Γ là một nhóm rời rạc sinh hữu hạn. Giả sử rằng tồn tại một đơn cấu của Γ vào một nhóm tôpô compact. Với mọi $\gamma \in \Gamma$ khác phần tử đơn vị, tồn tại một biểu diễn bất khả quy unita hữu hạn chiều của Γ sao cho ảnh của $\gamma$ dưới $\pi$ không phải là ánh xạ đồng nhất.

e) Một nhóm sinh hữu hạn là thặng dư hữu hạn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với một nhóm con của một nhóm compact.