Exercice 31, § 4

Soit $n$ un entier $\geqslant 1$. On note N la norme euclidienne sur $\mathbf{R}^n$, et on note $\lambda_n$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}^n$. On note $\omega_n$ l’unique mesure positive de masse totale 1 sur la sphère $\mathbf{S}_n\subset \mathbf{R}^{n+1}$ invariante par l’action du groupe orthogonal $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R}) ($cf. INT, VIII, p. 116, exercice 8).

On identifie $\mathbf{R}^n$ au complémentaire d’un hyperplan projectif H de l’espace projectif $\mathbf{P}_n(\mathbf{R}) ($cf. TG, VI, p. 15, prop. 5), et on interprétera les mesures sur $\mathbf{R}^n$ comme des mesures sur $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ portées sur le complémentaire de H.

Pour tout $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$, on note $\widetilde{g}$ l’homéomorphisme de $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ défini par $g$.

a) La mesure positive $c_n$ sur $\mathbf{R}^n$ définie par

(« mesure de Cauchy ») est bornée et de masse totale 1. Si $n= 1$, c’est la mesure stable de paramètre 1 (cf. exercice V, p. 496). Pour tout hyperplan projectif $H'$ de $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$, on a $c_n(H') = 0$.

b) L’application canonique de $\mathbf{R}^{n+1}-\{0\}$ dans $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ définit par passage aux sous-espaces une application continue surjective $\sigma :\mathbf{S}_n-(\mathbf{R}^n\times \{0\})\rightarrow \mathbf{R}^n$. On a $\sigma (\omega_n) =c_n$.

c) Soit $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+1,\mathbf{R})$. Il existe $a\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$ et $b\in \mathbf{R}^n$ tels que la mesure image $\widetilde{g}(c_n)$ soit égale à l’image de $c_n$ par l’application affine $x\mapsto a(x) +b$.

On se propose dans la suite de démontrer une réciproque de cette assertion. d) Soit $\mu$ une mesure positive bornée sur $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ telle que tout hyperplan projectif est $\mu$-négligeable. L’ensemble des $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$ tels que $g(\mu) =\mu$ et $|$det($g$)$|= 1$ est un sous-groupe compact de $\mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$. e) Soit $\mu$ une mesure positive bornée sur $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ de masse totale 1 telle que, pour tout $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$, il existe une application affine $f$ de $\mathbf{R}^n$ telle que $g(\mu) =f(\mu)$. Tout hyperplan projectif est $\mu$-négligeable.

f) Soit $K_\mu$ le sous-groupe des $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$ tels que $g(\mu) =\mu$. Il existe $h\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$ tel que $K_\mu\subset h\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R})h^{-1}$.

g) Soit $K =h^{-1}K_\mu h$. On a $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R}) = G\cdot K$, où G est le sous-groupe de $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R})$ formé des matrices

0 1

avec $x\in \mathbf{O}(n,\mathbf{R})$.

h) La mesure $h^{-1}(\mu)$ coïncide avec $c_n$. (Observer que le groupe K agit transitivement sur $\mathbf{S}_n$ et que la mesure image $\sigma (h^{-1}(\mu))$ est une mesure K-invariante sur $\mathbf{S}_n.$)