Bài tập 31, § 4

Cho $n$ là một số nguyên $\geqslant 1$. Ký hiệu N là chuẩn Euclid trên $\mathbf{R}^n$, và ký hiệu $\lambda_n$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}^n$. Ký hiệu $\omega_n$ là độ đo dương duy nhất có khối lượng toàn phần bằng 1 trên mặt cầu $\mathbf{S}_n\subset \mathbf{R}^{n+1}$ bất biến dưới tác động của nhóm trực giao $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R}) ($xem INT, VIII, p. 116, bài tập 8).

Ta đồng nhất $\mathbf{R}^n$ với phần bù của một siêu phẳng xạ ảnh H của không gian xạ ảnh $\mathbf{P}_n(\mathbf{R}) ($xem TG, VI, p. 15, prop. 5), và các độ đo trên $\mathbf{R}^n$ sẽ được hiểu là các độ đo trên $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ tập trung trên phần bù của H.

Với mọi $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$, ký hiệu $\widetilde{g}$ là phép đồng phôi của $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ được xác định bởi $g$.

a) Độ đo dương $c_n$ trên $\mathbf{R}^n$ được xác định bởi

(“độ đo Cauchy”) là bị chặn và có khối lượng toàn phần bằng 1. Nếu $n= 1$, nó là độ đo ổn định với tham số 1 (xem bài tập V, p. 496). Với mọi siêu phẳng xạ ảnh $H'$ của $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$, ta có $c_n(H') = 0$.

b) Ánh xạ chính tắc từ $\mathbf{R}^{n+1}-\{0\}$ vào $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một ánh xạ liên tục toàn ánh $\sigma :\mathbf{S}_n-(\mathbf{R}^n\times \{0\})\rightarrow \mathbf{R}^n$. Ta có $\sigma (\omega_n) =c_n$.

c) Cho $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+1,\mathbf{R})$. Tồn tại $a\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$ và $b\in \mathbf{R}^n$ sao cho độ đo ảnh $\widetilde{g}(c_n)$ bằng ảnh của $c_n$ qua ánh xạ afin $x\mapsto a(x) +b$.

Trong phần tiếp theo, mục đích là chứng minh đảo lại của mệnh đề này. d) Cho $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ sao cho mọi siêu phẳng xạ ảnh đều là không đáng kể đối với $\mu$. Tập hợp các $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$ sao cho $g(\mu) =\mu$ và $|$det($g$)$|= 1$ là một nhóm con compact của $\mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$. e) Cho $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ có khối lượng toàn phần bằng 1 sao cho, với mọi $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$, tồn tại một ánh xạ afin $f$ của $\mathbf{R}^n$ sao cho $g(\mu) =f(\mu)$. Mọi siêu phẳng xạ ảnh đều là không đáng kể đối với $\mu$.

f) Cho $K_\mu$ là nhóm con gồm các $g\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$ sao cho $g(\mu) =\mu$. Tồn tại $h\in \mathbf{G}\mathbf{L}(n+ 1,\mathbf{R})$ sao cho $K_\mu\subset h\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R})h^{-1}$.

g) Cho $K =h^{-1}K_\mu h$. Ta có $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R}) = G\cdot K$, trong đó G là nhóm con của $\mathbf{O}(n+ 1,\mathbf{R})$ gồm các ma trận

0 1

với $x\in \mathbf{O}(n,\mathbf{R})$.

h) Độ đo $h^{-1}(\mu)$ trùng với $c_n$. (Lưu ý rằng nhóm K tác động bắc cầu trên $\mathbf{S}_n$ và rằng độ đo ảnh $\sigma (h^{-1}(\mu))$ là một độ đo K-bất biến trên $\mathbf{S}_n.$)