Exercice 5, § 4

Soit G un groupe compact et $\varrho$ une représentation unitaire fidèle de dimension finie de G. Soit $\pi \in \widehat{G}$.

a) Il existe des entiers $a$ et $b$ tels que $\pi$ est isomorphe à une sous-représentation de $\varrho^{\otimes a}\otimes \overline{\varrho}^{\otimes b}$. (On pourra utiliser par exemple le théorème de Weierstrass–Stone.)

On note $w(\pi )$ le minimum de $a+b$ lorsque $(a, b)$ parcourt l’ensemble des entiers satisfaisant cette propriété.

b) Soit Λ le réseau des poids de $G^0$ et soit $q$ une norme sur $\Lambda \otimes \mathbf{R}$. Il existe des nombres réels C et D tel que pour toute représentation $\pi \in \widehat{G}$ dont la restriction à $G^0$ admet les plus haut poids $(\lambda_1, . . . , \lambda_k)$, on a

$w(\pi )\leqslant C$ sup($q(\lambda_1), . . . , q(\lambda_k)$) $+ D$.

(Considérer d’abord le cas d’un groupe semi-simple connexe et appliquer a) à une famille finie bien choisie de représentations de G).