Bài tập 5, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact và cho $\varrho$ là một biểu diễn unita trung thành hữu hạn chiều của G. Cho $\pi \in \widehat{G}$.

a) Tồn tại các số nguyên $a$ và $b$ sao cho $\pi$ đẳng cấu với một biểu diễn con của $\varrho^{\otimes a}\otimes \overline{\varrho}^{\otimes b}$. (Chẳng hạn có thể dùng định lý Weierstrass–Stone.)

Ký hiệu bởi $w(\pi )$ giá trị nhỏ nhất của $a+b$ khi $(a, b)$ chạy qua tập hợp các số nguyên thỏa mãn tính chất này.

b) Cho Λ là dàn trọng số của $G^0$ và cho $q$ là một chuẩn trên $\Lambda \otimes \mathbf{R}$. Tồn tại các số thực C và D sao cho với mọi biểu diễn $\pi \in \widehat{G}$ mà hạn chế của nó lên $G^0$ có các trọng số cao nhất $(\lambda_1, . . . , \lambda_k)$, ta có

$w(\pi )\leqslant C$ sup($q(\lambda_1), . . . , q(\lambda_k)$) $+ D$.

(Trước hết xét trường hợp của một nhóm liên thông nửa đơn và áp dụng a) cho một họ hữu hạn các biểu diễn của G được chọn thích hợp).