Exercice 7, § 4

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $\mu_n$ la mesure positive sur $\mathbf{C}$ image de la mesure de Haar normalisée du groupe $\mathbf{U}(\mathbf{C}^n)\subset$ GL($\mathbf{C}^n$) par l’application trace $g\mapsto$ Tr($g$); c’est une mesure à support compact de masse totale 1.

a) Soient $a$ et $b$ des entiers naturels tels que $a+b\leqslant n$. On a

$\int_{ab}\{0$ si $a\not =b$

$_{\mathbf{C}}a$! si $a=b$.

b) La suite de mesures $(\mu_n)_{n\geqslant 1}$ converge étroitement vers la mesure gaussienne sur l’espace vectoriel réel $\mathbf{C}$ dont la covariance est $Q(z) =|z|^2$.