Bài tập 7, § 4

Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu $\mu_n$ là độ đo dương trên $\mathbf{C}$ là ảnh của độ đo Haar chuẩn hóa của nhóm $\mathbf{U}(\mathbf{C}^n)\subset$ GL($\mathbf{C}^n$) qua ánh xạ vết $g\mapsto$ Tr($g$); đó là một độ đo có hỗ compact và khối lượng toàn phần bằng 1.

a) Cho $a$ và $b$ là các số nguyên tự nhiên sao cho $a+b\leqslant n$. Khi đó

$\int_{ab}\{0$ nếu $a\not =b$

$_{\mathbf{C}}a$! nếu $a=b$.

b) Dãy các độ đo $(\mu_n)_{n\geqslant 1}$ hội tụ hẹp tới độ đo Gauss trên không gian vectơ thực $\mathbf{C}$ có hiệp phương sai là $Q(z) =|z|^2$.