Introduction

Les Théories spectrales visent à étudier les propriétés de certaines algèbres normées, les exemples fondamentaux étant l’algèbre des fonctions continues à valeurs complexes sur un espace topologique, l’algèbre des endomorphismes d’un espace de Banach et l’algèbre de convolution des fonctions intégrables par rapport à une mesure de Haar sur un groupe localement compact. La portée de cette étude n’est pas nécessairement apparente par cette simple indication, mais il n’est besoin pour en saisir l’importance que de constater que deux mathématiciens contemporains, à moins qu’ils n’appartiennent à la même chapelle, n’auront bien souvent comme connaissances communes, outre l’algèbre linéaire et la partie élémentaire du calcul différentiel et intégral, que certains aspects de l’analyse de Fourier.

Dans les deux premiers chapitres de ce Livre, nous développons les idées les plus fondamentales des théories spectrales, et considérons plus en détail le troisième exemple mentionné ci-dessus, autrement dit, la transformation de Fourier, dans le cadre d’un groupe localement compact commutatif.

Les chapitres suivants poursuivront d’abord la théorie générale des applications linéaires compactes, puis celle des opérateurs sur les espaces hilbertiens, ce cas incluant les applications linéaires définies seulement sur un sous-espace (en général dense) d’un tel espace. Comme on le sait, cette théorie est la base du formalisme mathématique de la Mécanique Quantique. Finalement, nous présenterons la théorie élémentaire des représentations unitaires des groupes topologiques, notamment compacts, dont nous avons déjà eu à nous servir dans le chapitre IX du Livre Groupes et algèbres de Lie.

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Les titres des deux premiers chapitres sont les mêmes que ceux de la première édition de ce Livre, parue en 1967. Ils sont revus, corrigés et augmentés.

Pour la facilité de la lecture, nous indiquons ci-dessous les changements les plus importants qui se trouvent dans cette édition, et tout particulièrement les ajouts.

Pour le chapitre I :

– Dans le n$^o3$ du §3, nous introduisons la notion d’application partielle propre, qui permet d’énoncer de manière fonctorielle la correspondance de Gelfand entre espaces localement compacts et algèbres stellaires commutatives.

– Dans le §4, nous avons ajouté les n$^{os}13$ et 14, qui traitent du calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres normables réelles ou complexes, et dans les algèbres sans élément unité.

– Dans le §6, la présentation du calcul fonctionnel continu a été remaniée (n$^o6$). Les n$^{os}9$ à 11 sont nouveaux ; ils considérent la notion d’élément positif dans une algèbre stellaire générale, les unités approchées de telles algèbres, et le quotient d’une algèbre stellaire par un idéal bilatère fermé.

– Le §7, concernant les propriétés spectrales les plus élémentaires des endomorphismes des espaces de Banch est essentiellement nouveau ; les numéros n$^{os}7$ et 8 reprennent partiellement certains numéros de l’ancien paragraphe 6. C’est ce nouveau paragraphe qui servira de base à l’étude plus approfondies des endomorphismes des espaces hilbertiens dans le chapitre IV.

Pour le chapitre II :

– Le §1 concernant la transformation de Fourier a été revu en détail, par exemple le n$^o6$ qui traite de la fonctorialité de la dualité de Pontryagin. Dans le nouveau n$^o9$, nous rendons plus explicites les énoncés les plus importants pour les groupes $\mathbf{R}^n$ et $(\mathbf{R}/\mathbf{Z})^n$. La théo-rie de Fourier dans $\mathbf{R}^n$ trouvant son cadre le plus naturel dans la théorie des distributions tempérées, nous en énonçons les propriétés essentielles sans donner les démonstrations, qui apparaitront dans le chapitre IV.

– Nous avons finalement ajouté un formulaire de théorie de Fourier qui résume les définitions et propriétés des principaux espaces fonctionnels intervenant dans cette théorie, ainsi que les formules essentielles.

Beaucoup d’exercices sont nouveaux. On notera en particulier l’augmentation considérable du nombre d’exercices dans le §1 du chapitre II, qui reflète l’importance mathématique de la théorie de Fourier.

Dans les livres précédents, la référence suivante à TS, à paraître, doit être modifiée ainsi :

LIE, IX, p. 72, §7, n$^o4$. Au lieu de « d’après TS », lire « d’après TS, cor. du th. 1

de II, p. 215. »