Giới thiệu

Các lý thuyết phổ nhằm nghiên cứu các tính chất của một số đại số chuẩn, những ví dụ cơ bản là đại số các hàm liên tục với giá trị phức trên một không gian tôpô, đại số tự đồng cấu của một không gian Banach và đại số tích chập của các hàm khả tích đối với một độ đo Haar trên một nhóm địa phương compact. Phạm vi của nghiên cứu này không nhất thiết hiển nhiên từ chỉ dẫn đơn giản này, nhưng để nắm được tầm quan trọng của nó, chỉ cần nhận xét rằng hai nhà toán học đương thời, trừ khi họ thuộc cùng một trường phái tư tưởng, rất thường sẽ chỉ có, ngoài đại số tuyến tính và phần sơ cấp của phép tính vi phân và nguyên, một số khía cạnh của giải tích Fourier như là kiến thức chung.

Trong hai chương đầu của Quyển sách này, chúng tôi phát triển những ý tưởng cơ bản nhất của các lý thuyết phổ, và xem xét chi tiết hơn ví dụ thứ ba đã nêu ở trên, tức là biến đổi Fourier, trong đặt của một nhóm giao hoán địa phương compact.

Các chương tiếp theo trước hết sẽ tiếp tục lý thuyết tổng quát về các ánh xạ tuyến tính compact, sau đó là lý thuyết về các toán tử trên các không gian Hilbert, trường hợp này bao gồm các ánh xạ tuyến tính chỉ được xác định trên một không gian con (nói chung là trù mật) của một không gian như vậy. Như đã biết, lý thuyết này là cơ sở của hình thức toán học của Cơ học lượng tử. Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày lý thuyết sơ cấp về các biểu diễn unita của các nhóm tôpô, đặc biệt là các nhóm compact, mà chúng tôi đã có dịp sử dụng trong chương IX của Quyển sách Nhóm Lie và Đại số Lie.

xi

Tiêu đề của hai chương đầu giống với các tiêu đề của ấn bản đầu tiên của Quyển sách này, xuất bản năm 1967. Chúng đã được sửa đổi, hiệu chỉnh và mở rộng.

Để dễ đọc, dưới đây chúng tôi chỉ ra những thay đổi quan trọng nhất xuất hiện trong ấn bản này, và đặc biệt là những bổ sung.

Đối với chương I:

– Trong n$^o3$ của §3, chúng tôi đưa vào khái niệm một ánh xạ bộ phận thực sự, điều này cho phép phát biểu dưới dạng hàm tử sự tương ứng Gelfand giữa các không gian địa phương compact và các đại số sao giao hoán.

– Trong §4, chúng tôi đã thêm n$^{os}13$ và 14, đề cập đến phép tính hàm chỉnh hình trong các đại số chuẩn được trên trường thực hoặc phức, và trong các đại số không có phần tử đơn vị.

– Trong §6, cách trình bày của phép tính hàm liên tục đã được sửa đổi (n$^o6$). n$^{os}9$ đến 11 là mới; chúng xét khái niệm một phần tử dương trong một đại số sao tổng quát, các phần tử đơn vị xấp xỉ của các đại số như vậy, và thương của một đại số sao bởi một iđêan hai phía đóng.

– §7, liên quan đến những tính chất phổ sơ cấp nhất của các tự đồng cấu của các không gian Banach, về cơ bản là mới; các số n$^{os}7$ và 8 một phần tiếp nhận lại một số số của đoạn trước 6. Chính đoạn mới này sẽ làm cơ sở cho việc nghiên cứu các tự đồng cấu của các không gian Hilbert trong chương IV.

Đối với chương II:

– §1 liên quan đến biến đổi Fourier đã được sửa đổi chi tiết, chẳng hạn n$^o6$ đề cập đến tính hàm tử của đối ngẫu Pontryagin. Trong n$^o9$ mới, chúng tôi làm rõ hơn những mệnh đề quan trọng nhất đối với các nhóm $\mathbf{R}^n$ và $(\mathbf{R}/\mathbf{Z})^n$. Lý thuyết Fourier trong $\mathbf{R}^n$ tìm được đặt tự nhiên nhất của nó trong lý thuyết các phân bố ôn hòa, chúng tôi nêu các tính chất cốt yếu của nó mà không đưa ra các chứng minh, chúng sẽ xuất hiện trong chương IV.

– Cuối cùng chúng tôi đã thêm một dạng lý thuyết Fourier tóm tắt các định nghĩa và tính chất của các không gian hàm chính tham gia vào lý thuyết này, cũng như các công thức cốt yếu.

Nhiều bài tập là mới. Người ta sẽ đặc biệt nhận thấy sự gia tăng đáng kể về số lượng bài tập trong §1 của chương II, điều này phản ánh tầm quan trọng toán học của lý thuyết Fourier.

Trong các sách trước, tham chiếu sau đây đến TS, sẽ xuất hiện, phải được sửa đổi như sau:

LIE, IX, p. 72, §7, n$^o4$. Thay vì “d’après TS”, đọc “d’après TS, cor. du th. 1

de II, p. 215.”