Giới thiệu

Trong các Chương III đến V của Sách này, chúng tôi xét chi tiết đại số tự đồng cấu của một không gian vectơ tôpô thực hoặc phức. Trong trường hợp các không gian có số chiều hữu hạn, các tính chất chính của các phần tử của đại số này, xét riêng từng phần tử, suy ra từ phân tích Jordan (A, VII, p. 42, § 5, n$^o9$). Ở đây chúng tôi nghiên cứu phép tổng quát hóa của chúng sang các không gian có số chiều vô hạn, tuy nhiên việc này tinh tế hơn.

Trong Chương III, chúng tôi xét, trong một đặt rất tổng quát, các ánh xạ tuyến tính compact giữa các không gian vectơ tôpô. Đây là những ánh xạ mà các tính chất phổ của chúng gần nhất với trường hợp số chiều hữu hạn. Ví dụ, trong trường hợp riêng của các không gian Banach, các phần tử khác không của phổ của một tự đồng cấu compact là các trị riêng tổng quát có bội số phổ hữu hạn.

Trong bối cảnh các không gian Hilbert, một sự phân loại và một cấu trúc có thể xử lý được xuất hiện. Đây là đối tượng của Chương IV. Chương này bắt đầu bằng việc nghiên cứu các toán tử compact trong các không gian Hilbert: mô tả của chúng bằng các giá trị kỳ dị, cũng như phép chéo hóa của chúng trong trường hợp một tự đồng cấu chuẩn, hoàn toàn tương tự với các tính chất đã biết đối với một không gian có số chiều hữu hạn. Nói chung hơn, định lý phổ cung cấp các mô hình đơn cho các tự đồng cấu chuẩn của các không gian Hilbert.

Một số ứng dụng quan trọng, liên quan chẳng hạn đến các toán tử vi phân, nhưng cũng đến Cơ học lượng tử, đòi hỏi một lý thuyết tinh tế hơn: đó là lý thuyết về các ánh xạ tuyến tính, không nhất thiết liên tục, được xác định trên một không gian con trù mật của một không gian Hilbert, mà chúng tôi gọi là các toán tử bộ phận. Trong đặt này, định nghĩa

xi rất chính xác của một toán tử tự liên hợp hoặc chuẩn đòi hỏi sự chính xác lớn nếu muốn tránh những sai lầm nghiêm trọng. Một khi các định nghĩa này đã được thiết lập, một sự phân loại tương tự như sự phân loại của các tự đồng cấu liên tục xuất hiện; phép tính phiếm hàm đối với các ánh xạ đo được phổ quát, bị chặn hoặc không, tạo ra những mối liên hệ gần gũi giữa các tự đồng cấu chuẩn liên tục và các toán tử bộ phận chuẩn.

Qua đó, chúng tôi sẽ đã đề cập đến các tự đồng cấu chuẩn có vết, và đặc biệt là các tự đồng cấu nguyên với hạt nhân trong một không gian Hilbert $L^2(X, \mu)$. Trong lý thuyết về các dạng tự đẳng và các biểu diễn, người ta biết tầm quan trọng then chốt của công thức thiết lập rằng vết của một tự đồng cấu như vậy, khi nó tồn tại, là tích phân của hạt nhân trên đường chéo. Chúng tôi cũng dành một đoạn cho các định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phân bố và các phân bố tempered trong $\mathbf{R}^n$. Những khái niệm này không chỉ cung cấp cách trình bày thuận tiện nhất các nguyên lý cơ bản của lý thuyết Fourier Euclid (cf. II, § 1), mà còn cho phép đồng nhất các miền của nhiều toán tử vi phân quan trọng.

Cuối cùng, trong Chương V, chúng tôi liên hệ việc nghiên cứu các tự đồng cấu của các không gian Hilbert với việc nghiên cứu các biểu diễn unita của các nhóm. Sau một số xem xét tổng quát sơ cấp, trong đó Bổ đề Schur là mệnh đề quan trọng nhất, chúng tôi nghiên cứu trường hợp các nhóm compact địa phương. Sau đó chúng tôi xét các hàm kiểu dương, và trình bày các ứng dụng đầu tiên của chúng. Một trong số đó là định lý Gelfand-Naimark-Segal, khẳng định rằng mọi đại số sao đều đẳng cấu với một đại số con đóng của đại số tự đồng cấu của một không gian Hilbert. Các ứng dụng khác liên quan đến các tính chất cơ bản của không gian các biểu diễn unita bất khả quy của một nhóm compact địa phương, đặc biệt là định lý Gelfand-Raikov, thiết lập rằng các biểu diễn này phân biệt các điểm. Trong đoạn cuối của chương này, chúng tôi chứng minh các kết quả cơ bản liên quan đến các biểu diễn của các nhóm compact, những kết quả đã phục vụ chúng tôi trong Chương IX của Groupes et algèbres de Lie.

Ngoài các bài báo gốc và các hồi ký, chúng tôi đã đặc biệt thu được lợi ích từ việc đọc các công trình sau:

A. Borel, Représentations de groupes localement compacts, Lecture Notes in Mathematics 276, Springer, 1972.

M. Reed và B. Simon, Methods of Mathematical Physics, Academic Press, Tập 1, 1980 và Tập 2, 1975.

K. Schmüdgen, Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space, Graduate Texts in Mathematics 265, Springer, 2012.

Trong các chương và sách trước, các tham chiếu sau đây đến “TS, forthcoming” phải được sửa đổi như sau:

EVT, V, p. 35, dòng 1. Thay vì “TS, IV, § 6”, đọc “(TS, IV, p. 160,

nhận xét)”.

INT, IX, p. 94, § 6, n$^o12$. Thay vì “One có thể chứng minh một đảo lại . . .

bounded”, đọc “Đảo lại của Mệnh đề 11 là một trường hợp riêng của TS, V,

p. 455, th. 5.”

LIE, IX, p. 61, § 6, n$^o4$, dòng 6. Thay vì “TS, forthcoming”, đọc “TS, III,

p. 36, prop. 9”.

LIE, IX, p. 63, § 6, n$^o4$, dòng 6. Thay vì “TS, forthcoming”, đọc “TS, III,

p. 36, rem.”.

LIE, IX, p. 66, § 7, chú thích 1. Thay vì “to a forthcoming chapter”, đọc “to

đoạn 4 của Chương V”.

LIE, IX, p. 69, § 7, n$^o2$. Thay vì “then according to TS”, đọc “then (TS, V,

p. 464, prop. 6)”.

LIE, IX, p. 71, § 7, n$^o3$. Thay vì “cái mà, theo TS, là một đẳng cấu”,

đọc “cái mà, theo TS, V, p. 469, hệ quả 2, là một đẳng cấu.”

LIE, IX, p. 72, § 7, n$^o4$. Thay vì “(TS)”, đọc “(TS, V, p. 459, cor. 3)”.

LIE, IX, p. 74, § 7, n$^o4$. Sau “của không gian các hàm biểu diễn trung tâm

trên G”, thêm “(TS, V, p. 469, cor. 2, a))” ; sau “của không gian ZL$^2(G)$”

của các hàm trung tâm bình phương khả tích trên G », thêm « (TS, V, p. 468,

prop. 9). »

LIE, IX, p. 78, § 8, n$^o1$. Thay vì « In this số, definitions

và các kết quả từ TS được nhắc lại », đọc « Các định nghĩa và kết quả từ TS được nhắc lại, V,

p. 386, n$^o8$; p. 392, n$^o10$; p. 470, n$^o7$. »

LIE, IX, p. 84, § 8, n$^o3$. Thay vì « Hãy nhắc lại (TS) các công thức », đọc « Có

(TS, V, p. 467, các công thức (1) và (2)) các công thức ».

LIE, IX, p. 89, § 9, n$^o1$. Thay vì « TS, III, §2, n$^o7$, prop. 16 », đọc « TS, III,

p. 67, prop. 10 ».

LIE, IX, p. 90, § 9, n$^o1$. Thay « TS, III, §2, n$^o6$ » bằng « TS, III, p. 61,

No. 4 ».

LIE, IX, p. 91, § 9, n$^o2$. Thay « TS, sắp xuất hiện », bằng « TS, III, p. 36,

mệnh đề 9 và TS, V, p. 464, mệnh đề 7 ».

LIE, IX, p. 92, chú ý 1. Thay « (TS, sắp xuất hiện) » bằng « (TS, V, p. 379,

định nghĩa 3) ».

LIE, IX, p. 99, phụ lục 1, n$^o1$. Thay « (TS, sắp xuất hiện) » bằng « (TS, V,

p. 464, nhận xét 4) ».

LIE, IX, p. 128, bài tập 3 (b) của §9. Thay « (TS, sắp xuất hiện) » bằng « (Dùng

định lý Peter–Weyl, TS, V, p. 462, định lý 1) ».

TS, I, p. 103, ví dụ 6. Thay « V, sắp xuất hiện » bằng « V, p. 442, định lý 2. » TS, I, p. 173, bài tập 5, d). Thay « III, sắp xuất hiện » bằng « III, p. 82, § 6. » TS, II, p. 237, n$^o9$. Thay « IV, sắp xuất hiện » bằng « IV, p. 196, § 3 ».

TS, II, p. 251, n$^o1$. Thay « V, sắp xuất hiện » bằng « V, p. 425, mệnh đề 10 ».