§ 5. Variétés

5.1. Cartes et atlas. Variétés

5.1.1. Soit X un ensemble. On appelle carte de X un triplet c = (U, φ, E), où U est une partie de X, E un espace de Banach et φ une bijection de U sur un ouvert de E. On dit que U est le domaine de la carte c. Si E est de dimension finie n, on dit que c est de dimension n. Sinon, on pose dim c = +∞.

5.1.2. On dit que deux cartes c = (U, φ, E) et c' = (U', φ', E') de X sont C^r-compatibles (ou simplement compatibles lorsqu’il ne peut y avoir d’ambiguïté sur r) lorsque les conditions suivantes sont réalisées: (a) φ(U ∩ U') (resp. φ'(U ∩ U')) est ouvert dans E (resp. E'); (b) l’application φ ∘ φ'^{-1} (resp. φ' ∘ φ^{-1}) de φ'(U ∩ U') sur φ(U ∩ U') (resp. de φ(U ∩ U') sur φ'(U ∩ U')) est de classe C^r (cf. 2.3.1, 3.2.1 et 4.2.1).

5.1.3. On appelle C^r-atlas (ou simplement atlas) d’un ensemble X un ensemble de cartes de X deux à deux C^r-compatibles et dont les domaines ont pour réunion X tout entier. Deux atlas A et B de X sont dits C^r-équivalents si A ∪ B est un atlas. La relation de C^r-équivalence entre atlas est une relation d’équivalence.

5.1.4. Soit S un ensemble d’espaces de Banach. On dit qu’un atlas A est de type S si l’on a E ∈ S pour toute carte c = (U, φ, E) de A. D’une manière analogue, on dit qu’un atlas A est de type hilbertien (resp. de type hilbertien de dimension dénombrable) si E est un espace hilbertien (resp. hilbertien de type dénombrable) pour toute carte (U, φ, E) de A.

5.1.5. On appelle K-variété de classe C^r (ou variété de classe C^r sur K, ou simplement variété lorsque il ne peut y avoir d’ambiguïté sur K et r) un ensemble X muni d’une classe d’atlas équivalents (Ens., chap. II, § 6, n° 9) pour la relation de C^r-équivalence. Un atlas de cette classe est appelé un atlas de la variété X. Une carte appartenant à un atlas de X est appelée une carte de la variété X. Une carte de X dont le domaine contient un point a ∈ X est appelée une carte de X en a. Une carte centrée en a est une carte (U, φ, E) de X en a telle que φ(a) = 0.

Si X est un ensemble et A un atlas de X, l’ensemble X muni de la classe d’équivalence de A est appelé la variété définie par A.

Lorsque r ≠ ω (donc K = R), une variété de classe C^r est parfois appelée une variété différentielle. Une variété de classe C^ω est encore appelée une variété analytique sur K (ou encore variété K-analytique).

Lorsque de plus $K = \mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$ , $\mathbf{Q}_p$ ), on dit encore variété analytique réelle (resp. analytique complexe, analytique $p$ -adique).

5.1.6. Soit $X$ une variété. Les parties de $X$ qui sont réunions de domaines de cartes de $X$ forment l’ensemble des ouverts pour une topologie sur $X$ , dite sous-jacente à la structure de variété de $X$ . Pour toute carte $c = (U, \varphi, E)$ de $X$ , l’application $\varphi$ est un homéomorphisme de l’ouvert $U$ muni de la topologie induite par celle de $X$ sur l’ouvert $\varphi(U)$ de $E$ .

L’espace topologique sous-jacent à $X$ est un espace de Baire. Lorsque $K$ est égal à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ , il est localement connexe.

Soit $X$ une variété et soit $\mathscr{A}$ un atlas de $X$ . Pour que l’espace topologique $X$ soit séparé, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite : quelles que soient les cartes $(U, \varphi, E)$ et $(V, \psi, F)$ appartenant à l’atlas $\mathscr{A}$ , le graphe de l’application $\psi \circ \varphi^{-1}$ de $\varphi(U \cap V)$ dans $\psi(U \cap V)$ est fermé dans $\varphi(U) \times \psi(V)$ .

Soit $X$ une variété ; supposons que l’espace topologique $X$ soit régulier. Alors pour tout point $a \in X$ , il existe une carte $(U, \varphi, E)$ de $X$ en $a$ possédant la propriété suivante : pour qu’une partie $Y$ de $U$ soit fermée dans $X$ , il faut et il suffit que son image $\varphi(Y)$ soit fermée dans $E$ . Si l’espace $X$ est paracompact, il existe sur $X$ une distance compatible avec la topologie de $X$ et faisant de $X$ un espace métrique complet.

5.1.7. Soit $\mathfrak{S}$ un ensemble d’espaces de Banach. On dit qu’une variété est de type $\mathfrak{S}$ (resp. de type hilbertien, resp. de type hilbertien de dimension dénombrable) si elle possède un atlas de type $\mathfrak{S}$ (resp. de type hilbertien, resp. de type hilbertien de dimension dénombrable). Si $\mathfrak{S}$ est réduit à un seul élément $E$ , une variété de type $\mathfrak{S}$ est encore appelée une variété pure de type $E$ .

On appelle variété pure de dimension $n$ une variété pure de type $K^n$ . On dit qu’une variété est localement de dimension finie si elle est de type $\mathfrak{S}$ avec $\mathfrak{S} = \{ K^n ; n \in \mathbf{N} \}$ .

5.1.8. Soit $X$ une variété et soit $x \in X$ . La dimension (finie ou $+\infty$ ) d’une carte de $X$ en $x$ ne dépend que de $x$ . On l’appelle dimension de $X$ en $x$ et on la note $\dim_x X$ . On appelle dimension de $X$ et on note $\dim X$ la borne supérieure des $\dim_x X$ pour $x \in X$ .

La fonction $x \mapsto \dim_x X$ est localement constante. La variété $X$ est localement de dimension finie (resp. pure de dimension $n$ ) si et seulement si on a $\dim_x X < +\infty$ (resp. $\dim_x X = n$ ) pour tout $x \in X$ .

5.1.9. Supposons $K$ localement compact. Soit $X$ une variété séparée. Alors, pour que $X$ soit localement de dimension finie, il faut et il suffit que $X$ soit localement compacte.

n° 5.2

5.1.10. Soit X une variété et soient $\xi^1, \ldots, \xi^n$ des applications d'une partie U de X dans K. On dit que $\xi = (\xi^1, \ldots, \xi^n)$ est un système de coordonnées de X dans U si le triplet $(U, \xi, K^n)$ est une carte de X ; cette carte se note aussi $(U; \xi)$ ou $(U; \xi^1, \ldots, \xi^n)$ . Si $a \in U$ , on dit aussi que $\xi$ est un système de coordonnées de X en $a$ ; si de plus $\xi^i(a) = 0$ pour $i = 1, 2, \ldots, n$ , on dit que le système de coordonnées $\xi$ est centré en $a$ .

5.2. Exemples de variétés

5.2.1. Soit X un ensemble ; il existe sur X une structure de variété et une seule pour laquelle l'espace topologique sous-jacent soit discret ; cette structure est une structure de variété pure de dimension 0.

5.2.2. Soit E un espace de Banach. Le triplet $c = (E, \mathrm{Id}_E, E)$ est une carte de E et $\mathscr{A} = \{c\}$ est un atlas de E, donc définit une structure de variété pure de type E sur E ; la topologie sous-jacente est la topologie donnée sur E. Lorsque l'on parlera par la suite de la structure de variété sur E, ce sera toujours à la structure précédente que l'on se référera.

En particulier, ceci s'applique à tout espace vectoriel de dimension finie sur K, muni de l'unique topologie séparée compatible avec sa structure vectorielle (Esp. Vect. Top., chap. I, § 2, n° 3).

5.2.3. Soient X une variété et U une partie ouverte de X. Il existe sur U une structure de variété dont les cartes sont les cartes de la variété X de domaine contenu dans U. Cette structure est dite induite par celle de X (cf. n° 5.3.4); muni de cette structure, U s'appelle une sous-variété ouverte de X.

En particulier, tout ouvert d'un espace de Banach E est muni d'une structure canonique de variété pure de type E. Soit X une variété ; pour qu'un triplet $(U, \varphi, E)$ soit une carte de X, il faut et suffit que U soit ouvert dans X et que $\varphi$ soit un isomorphisme de la sous-variété ouverte U de X sur une sous-variété ouverte de E.

5.2.4. Soient X un ensemble, et $(X_i)_{i \in I}$ un recouvrement de X. On suppose donnée sur chaque $X_i$ une structure de variété telle que la condition suivante soit remplie :

Quels que soient $i$ et $j$ dans I, l'ensemble $X_i \cap X_j$ est ouvert dans $X_i$ et $X_j$ et les structures de variétés induites sur $X_i \cap X_j$ par celles de $X_i$ et $X_j$ coïncident.

Il existe alors sur X une structure de variété et une seule telle que $X_i$ soit une sous-variété ouverte de X pour tout $i$ dans I. On dit que la variété X s'obtient par recollement des variétés $X_i$ .

5.2.5. Soit X une variété. L'ensemble $X_n$ des points $x$ de X tels que dim_x X = n (n entier $\geq 0$ ) est une sous-variété ouverte de X, qui est pure de dimension n.

5.2.6. Soit E un espace de Banach. On peut munir l’ensemble G(E) des sous-espaces vectoriels de E admettant un supplémentaire topologique d’une structure de variété analytique de la façon suivante : pour tout couple (F_0, G_0) $\in G(E) \times G(E)$ tel que E = F_0 $\oplus$ G_0, on note U_{G_0} l’ensemble des F $\in G(E)$ admettant G_0 comme supplémentaire, et on définit une bijection $\varphi_{F_0, G_0}$ de U_{G_0} sur l’espace de Banach $\mathscr{L}(F_0; G_0)$ en associant à tout F $\in U_{G_0}$ l’application de F_0 dans G_0 ayant pour graphe le sous-espace F de E = F_0 $\times$ G_0. Les cartes (U_{G_0}, $\varphi_{F_0, G_0}$ , $\mathscr{L}(F_0; G_0)$ ) forment un atlas de G(E). Muni de la structure de variété définie par cet atlas, G(E) s’appelle la variété grassmannienne de E.

L’espace topologique G(E) est métrisable. Si K est localement compact et E de dimension finie, G(E) est compacte.

Pour tout entier $n \geq 0$ , l’ensemble G_n(E) (resp. G^n(E)) des F $\in G(E)$ de dimension (resp. codimension) n est ouvert et fermé dans G(E) et est une sous-variété ouverte pure de G(E). Si K = R ou C, G_n(E) est connexe pour tout n.

L’application qui à F $\in G(E)$ , associe son orthogonal dans le dual E’ de E, est un morphisme de G(E) dans G(E’) qui induit un isomorphisme de G^n(E) sur G_n(E’) pour tout entier n.

Si K = R ou C, ou si E est de dimension finie, G_1(E) n’est autre que l’espace projectif déduit de E, qui se trouve ainsi muni d’une structure de variété analytique.

5.3. Fonctions de classe $C^r$ et morphismes de variétés

5.3.1. Soient X une variété de classe C', F un espace polynormé séparé et f une application de X dans F. On dit que f est de classe C' si pour toute carte (V, $\varphi$ , E) de X, l’application $f \circ \varphi^{-1}$ de $\varphi(V)$ dans F est de classe C'. Pour cela, il suffit que cette condition soit satisfaite pour les cartes d’un atlas de X. L’ensemble des applications de classe C' de X dans F forme un sous-espace vectoriel de l’espace de toutes les applications de X dans F. On le note $\mathscr{C}'(X; F)$ .

Lorsque F = K, on pose $\mathscr{C}'(X; K) = \mathscr{C}'(X)$ ; c’est une sous-K-algèbre de l’algèbre des applications de X dans K. Les éléments de $\mathscr{C}'(X)$ sont encore appelés fonctions morphiques.

Lorsque X est un ouvert d’un espace de Banach, cette terminologie est en accord avec celle des n°s 2.3.1, 3.2.1 et 4.2.1.

5.3.2. Soient X et Y deux variétés de classe C' et soit f une application de X dans Y. On dit que f est de classe C' ou est un morphisme de variétés (de classe C') si elle est continue et si, pour toute carte (V, $\psi$ , F) de Y, l’application $\psi \circ f$ de la sous-variété ouverte $f^{-1}(V)$ dans l’espace de Banach F est de classe $C'$ . Pour cela, il suffit qu’il existe un atlas $\mathscr{A}$ de Y tel que, pour toute carte $(V, \psi, F) \in \mathscr{A}$ , l’ensemble $f^{-1}(V)$ soit ouvert dans X et que l’application $\psi \circ f$ de la sous-variété ouverte $f^{-1}(V)$ de X dans F soit de classe $C'$ . L’ensemble des morphismes de X dans Y est noté $\mathscr{C}'(X; Y)$ . Lorsque Y est un espace de Banach muni de sa structure canonique de variété, les définitions de 5.3.1. et 5.3.2 sont cohérentes. Une application de classe $C^\omega$ est aussi appelée application K-analytique (ou simplement analytique). Lorsque $K = \mathbf{C}$ , on dit aussi application holomorphe.

Soient $(U, \varphi, E)$ une carte de X et $(V, \psi, F)$ une carte de Y telles que $f(U) \subset V$ . L’application $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ de l’ouvert $\varphi(U)$ de E dans l’ouvert $\psi(V)$ de F est appelée l’expression de f dans les cartes données.

5.3.3. Supposons X et Y de dimension finie; soient $a \in X,\ b \in Y$ et $f$ une application de X dans Y avec $f(a) = b$ . Supposons d’abord que $f$ soit de classe $C'$ et considérons des systèmes de coordonnées $(U; \xi^1, \ldots, \xi^m)$ de X en $a$ et $(V; \eta^1, \ldots, \eta^n)$ de Y en $b$ respectivement, avec $f(U) \subset V$ . Soit $\xi$ l’application $(\xi^1, \ldots, \xi^m)$ de U dans $K^m$ . Il existe alors des fonctions $u^j$ de classe $C'$ sur l’ouvert $\xi(U)$ de $K^m$ , à valeurs dans K, telles que les coordonnées d’un point $y = f(x)$ de Y, (pour x dans U), soient données par les formules:

(1)

\eta^j(y) = u^j(\xi^1(x), \ldots, \xi^m(x)) \quad \text{pour } 1 \leq j \leq n

ce qui équivaut à:

(2)

\eta^j \circ f = u^j(\xi^1, \ldots, \xi^m) \quad \text{pour } 1 \leq j \leq n.

On dit que les formules précédentes constituent l’expression de

f

au moyen des systèmes de coordonnées choisis.

Réciproquement, si, pour tout point $a$ de X, on peut trouver un système de coordonnées de X en $a$ et un système de coordonnées de Y en $b = f(a)$ satisfaisant aux conditions précédentes, alors $f$ est de classe $C'$ .

5.3.4. Les morphismes de variétés satisfont aux axiomes d’*Ens.*, chap. IV, § 2: a) Le composé de deux morphismes est un morphisme. b) Pour qu’une bijection $f : X \to Y$ soit un isomorphisme, il faut et il suffit que $f$ et $f^{-1}$ soient des morphismes.

5.3.5. Supposons que $r = \omega$ . Soient X une variété et $f, g$ deux applications analytiques de X dans un espace polynormé séparé ou dans une variété analytique séparée. L’ensemble des points au voisinage desquels $f$ et $g$ sont égales, est ouvert et fermé dans X.

5.3.6. Supposons que $K = \mathbf{R}$ et $r \neq \omega$ . On dit qu'une variété $X$ admet des partitions de l'unité de classe $C'$ si, pour tout recouvrement ouvert localement fini de $X$ , il existe une partition continue de l'unité (Top. Gén., ch. IX, § 4, n° 3) subordonnée à ce recouvrement et formée de fonctions de classe $C'$ .

Soit $E$ un espace de Banach ; considérons la propriété suivante :

(PU) Quels que soient les sous-ensembles fermés disjoints $A$ et $B$ de $E$ , il existe une fonction $f$ de classe $C'$ sur $E$ , à valeurs dans $\mathbf{R}$ , telle que $f(x) = 0$ pour $x \in A$ , $f(x) = 1$ pour $x \in B$ et $0 \leq f(x) \leq 1$ pour tout $x \in E$ .

Si $\mathscr{S}$ est un ensemble d’espaces de Banach possédant la propriété (PU), toute variété paracompacte de type $\mathscr{S}$ admet des partitions de l’unité de classe $C'$ .

Tout espace de dimension finie, tout espace hilbertien de type dénombrable possède la propriété (PU).

5.3.7. Supposons $K$ ultramétrique. Soit $X$ une variété paracompacte. Pour tout recouvrement ouvert $U$ de $X$ , il existe une partition de $X$ en sous-ensembles ouverts et fermés subordonnée au recouvrement $U$ .

5.3.8. Supposons $K$ localement compact. Soient $X$ et $Y$ deux variétés pures de dimension finie, et soit $f$ un morphisme de $X$ dans $Y$ . Si $\dim X < \dim Y$ et si la topologie de $X$ admet une base dénombrable d’ouverts, $f(X)$ est maigre dans $Y$ .

5.4. Caractérisation des variétés par leurs faisceaux de fonctions

5.4.1. Soit $X$ un espace topologique, et soit $Y$ un ensemble. Supposons donné, pour tout ouvert $U$ de $X$ , un ensemble $\mathscr{L}(U)$ d’applications de $U$ dans $Y$ . Nous dirons que la famille $\mathscr{L} = \{\mathscr{L}(U)\}$ est un faisceau de fonctions à valeurs dans $Y$ si elle vérifie la condition suivante :

Soit $(U_i)_{i \in I}$ une famille d’ouverts de $X$ , de réunion $U$ , et soit $f$ une application de $U$ dans $Y$ ; pour que $f$ appartienne à $\mathscr{L}(U)$ , il faut et il suffit que $f|U_i$ appartienne à $\mathscr{L}(U_i)$ pour tout $i$ dans $I$ .

5.4.2. Soient $X$ et $Y$ deux variétés ; pour tout ouvert $U \subset X$ , soit $\mathscr{L}(U)$ l’ensemble des morphismes de $U$ dans $Y$ ; alors $\mathscr{L}$ est un faisceau de fonctions à valeurs dans $Y$ .

Lorsque $Y = K$ , on note $\mathscr{C}_X^{r'}$ le faisceau ainsi défini.

5.4.3. Soit $X$ un espace topologique et soit $\mathscr{S}$ un ensemble d’espaces de Banach. Pour tout $E \in \mathscr{S}$ , soit $\mathscr{F}_E$ un faisceau de fonctions sur $X$ à valeurs dans $E$ . Supposons que la famille des $\mathscr{F}_E$ , pour $E \in \mathscr{S}$ , vérifie la condition suivante :

Pour tout $x \in X$ , il existe un voisinage ouvert $U$ de $x$ , un espace

$E_0 \in \mathscr{S}$ , et un homéomorphisme $\varphi$ de U sur un ouvert de E_0, tels que, pour tout ouvert $V \subset U$ et tout $E \in \mathscr{S}$ , l’ensemble $\mathscr{F}_E(V)$ se compose des fonctions $g \circ \varphi$ , où $g$ parcourt l’espace $\mathscr{C}^r(\varphi(V); E)$ .

Il existe alors sur X une structure de variété de classe $C^r$ et de type $\mathscr{S}$ et une seule, compatible avec la topologie donnée sur X et pour laquelle $\mathscr{F}_E$ est le faisceau des fonctions de classe $C^r$ sur X à valeurs dans E.

5.4.4. Soit X un espace topologique et soit $\mathscr{F}$ un faisceau de fonctions à valeurs dans K, vérifiant la condition suivante : pour tout point x de X, il existe un entier n, un voisinage ouvert U de x et un homéomorphisme $\varphi$ de U sur un ouvert de $K^n$ , tels que, pour tout ouvert V de U, l’ensemble $\mathscr{F}(V)$ se compose des fonctions $g \circ \varphi$ où $g$ parcourt l’ensemble des fonctions de classe $C^r$ à valeurs dans K sur l’ouvert $\varphi(V)$ de $K^n$ .

Il existe alors sur X une structure de variété localement de dimension finie et de classe $C^r$ et une seule telle que $\mathscr{F} = \mathscr{C}^r_X$ .

5.4.5. Soient X et X' deux variétés de classe $C^r$ , localement de dimension finie, et soit $f$ une application continue de X dans X'. Pour que $f$ soit un morphisme, il faut et il suffit que pour tout ouvert U' de X' et toute fonction $g \in \mathscr{C}^r(U'; K)$ , la fonction $g \circ f$ appartienne à $\mathscr{C}^r(U; K)$ , avec $U = f^{-1}(U')$ .

5.5. Espaces tangents, applications linéaires tangentes

5.5.1. Soit X une variété et soit $a \in X$ . Considérons les couples $(c, h)$ où $c = (U, \varphi, E)$ est une carte de la variété X en $a$ et où $h$ est un élément de E. Deux tels couples $(c, h)$ et $(c', h')$ sont dits équivalents si la dérivée en $\varphi(a)$ de l’application $\varphi' \circ \varphi^{-1}$ (qui est définie sur un voisinage de $\varphi(a)$ ) transforme $h$ en $h'$ . On obtient ainsi une relation d’équivalence entre couples $(c, h)$ et on appelle vecteur tangent en $a$ à X une classe de couples $(c, h)$ équivalents (Ens., chap. II, § 6, n° 9).

Les vecteurs tangents en $a$ à X forment un ensemble noté $T_a(X)$ . Si $c = (U, \varphi, E)$ est une carte de la variété X en $a$ , l’application $\theta_c$ de E dans $T_a(X)$ qui associe à un élément $h$ de E le vecteur tangent représenté par le couple $(c, h)$ est une bijection. Si l’on transporte à $T_a(X)$ , au moyen de $\theta_c$ , la structure de K-espace vectoriel topologique de E, la structure ainsi obtenue ne dépend pas du choix de $c$ et fait de $T_a(X)$ un espace de Banach, appelé espace tangent à X en $a$ . La dimension (finie ou $+\infty$ ) de $T_a(X)$ est égale à la dimension de X en $a$ .

5.5.2. Soient X, Y deux variétés, $f$ un morphisme de X dans Y et $a$ un point de X. Considérons une carte $c = (U, \varphi, E)$ de X en $a$ et une carte $c' = (V, \psi, F)$ de Y en $b$ avec $f(U) \subset V$ ; l’application $\Phi = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ de $\varphi(U)$ dans F est de classe $C^r$ , et sa dérivée $D\Phi(\varphi(a))$ au point $\varphi(a)$ est une application linéaire continue de E dans F. L’application linéaire continue $\theta_{c'} \circ D\Phi(\varphi(a)) \circ \theta_c^{-1}$ de $T_a(X)$ dans $T_b(Y)$ ne dépend pas des cartes $c$ et $c'$ choisies; on la note $T_a(f)$ et on l’appelle l’application linéaire tangente à $f$ en $a$ . Si $g$ est un morphisme de $Y$ dans une variété $Z$ , on a:

T_a(g \circ f) = T_{f(a)}(g) \circ T_a(f).

5.5.3. Soit $f : X \to Y$ un morphisme de variétés. Si $f$ est localement constant, on a $T_a(f) = 0$ pour tout $a$ dans $X$ . Réciproquement, si $T_a(f) = 0$ pour tout $a \in X$ et si le corps $K$ est de caractéristique 0, alors $f$ est localement constant.

5.5.4. Soient $U$ un ouvert d’une variété $X$ et $f$ l’injection canonique de $U$ dans $X$ ; pour tout point $a$ de $U$ , l’application $T_a(f)$ de $T_a(U)$ dans $T_a(X)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques, par lequel on identifiera désormais ces deux espaces.

5.5.5. Soit $U$ un ouvert d’un espace de Banach $E$ ; si $\iota$ est l’injection canonique de $U$ dans $E$ , le triplet $c = (U, \iota, E)$ est une carte de $U$ , et l’atlas $\{c\}$ définit la structure de variété de $U$ . Etant donné un point $a$ de $U$ , l’application $\theta_c$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de $E$ sur $T_a(U)$ ; l’isomorphisme réciproque sera noté $\zeta_E(a)$ .

Soit $f$ une application de classe $C^r$ de $U$ dans un ouvert $V$ d’un espace de Banach $F$ ; pour tout point $a$ de $U$ , on a:

Df(a) \circ \zeta_E(a) = \zeta_F(f(a)) \circ T_a(f)

où $Df(a)$ est la dérivée de $f$ en $a$ (1.2.1). Autrement dit, le diagramme :

\begin{array}{ccc} T_a(U) & \xrightarrow{T_a(f)} & T_{f(a)}(V) \\ \downarrow \zeta_E(a) & & \downarrow \zeta_F(f(a)) \\ E & \xrightarrow{Df(a)} & F \end{array}

est commutatif.

5.5.6. On appelle vecteur cotangent à $X$ en $a$ , ou encore covecteur tangent ou simplement covecteur en $a$ , toute forme linéaire continue sur l’espace vectoriel topologique $T_a(X)$ ; ces covecteurs sont donc les éléments du dual topologique $T_a(X)'$ de l’espace tangent à $X$ en $a$ . On munira cet espace de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de $T_a(X)$ : muni de cette topologie, $T_a(X)'$ est un espace de Banach qu’on appelle espace cotangent à $X$ en $a$ . On le note aussi $T'_a(X)$ .

Soit $f$ un morphisme de $X$ dans un espace de Banach $E$ . On appelle différentielle de $f$ en $a$ et on note $d_a f$ ou $df_a$ l’application linéaire continue $\zeta_E(f(a)) \circ T_a(f)$ de $T_a(X)$ dans $E$ . Pour $t \in T_a(X)$ , on note parfois t(f) ou t . f la valeur $d_a f(t)$ de l’application linéaire $d_a f$ au point $t$ . L’application $f \mapsto d_a f$ est linéaire.

Si $E = K$ , la différentielle $d_a f$ de $f$ en $a$ est un covecteur de $X$ en $a$ .

Soient $E, F, G$ trois espaces de Banach et soit $(u, v) \mapsto u . v$ une application bilinéaire continue de $F \times G$ dans $E$ . Soit $f$ (resp. $g$ ) un morphisme de $X$ dans $F$ (resp. $G$ ). Alors l’application $f . g : x \mapsto f(x) . g(x)$ est un morphisme de $X$ dans $E$ et on a, pour tout $t \in T_a(X)$ :

d_a(f . g)(t) = f(a) . d_a g(t) + d_a f(t) . g(a).

Prenons en particulier $G = E$ et $F = K$ , l’application bilinéaire considérée étant la multiplication. On a alors:

d_a(fg) = f(a)d_ag + g(a)\ d_af.

5.5.7. Soit $X$ une variété localement de dimension finie et soient $\xi^1, \ldots, \xi^m$ des fonctions morphiques définie dans un voisinage ouvert $U$ d’un point $a$ de $X$ . Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) il existe un voisinage ouvert $V$ de $a$ contenu dans $U$ , tel que les fonctions $\xi^i|V$ (pour $1 \leq i \leq m$ ) forment un système de coordonnées de $X$ dans $V$ ;

(ii) les différentielles $d_a \xi^i$ pour $1 \leq i \leq m$ forment une base de $T_a(X)'$ ;

(iii) l’application $\xi = (\xi^1, \ldots, \xi^m)$ de $U$ dans $K^m$ est étale en $a$ (voir n° 5.7.6).

Pour que les différentielles $d_a \xi^1, \ldots, d_a \xi^m$ soient linéairement indépendantes, il faut et il suffit qu’il existe un voisinage $V$ de $a$ , contenu dans $U$ , tel que les fonctions $\xi^i|V$ fassent partie d’un système de coordonnées de $X$ dans $V$ .

5.5.8. Soit $X$ une variété localement de dimension finie et soit $\xi = (\xi^1, \ldots, \xi^m)$ un système de coordonnées de $X$ dans un ouvert $U$ . Soit $a \in U$ : on note $(\partial_{1,a}, \ldots, \partial_{m,a})$ la base de l’espace tangent $T_a(X)$ duale de la base $(d_a \xi^1, \ldots, d_a \xi^m)$ de $T_a(X)'$ . On a donc:

\partial_{i,a}(\xi^j) = \delta_{i,j} \quad \text{(indice de Kronecker)}.

Le vecteur tangent $\partial_{i,a}$ se note aussi $(\partial/\partial \xi^i)_a$ .

Soit $f$ une fonction de classe $C^r$ sur $U$ , à valeurs dans un espace de Banach $E$ . On note $\partial_i f$ ou $\partial f/\partial \xi^i$ la fonction $a \mapsto \partial_{i,a}(f)$ : c’est une fonction de classe $C^{r-1}$ sur $U$ à valeurs dans $E$ (une fonction continue si $r = 1$ ). Sa valeur en un point $a$ de $U$ est parfois notée $(\partial f/\partial \xi^i)_a$ . Pour tout $t \in T_a(X)$ , on a:

d_a f(t) = \sum_{i=1}^m d_a \xi^i(t) \frac{\partial f}{\partial \xi^i}(a),

ce qui peut encore s'écrire:

d_a f = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial \xi^i}(a) d_a \xi^i.

Ces notations sont cohérentes avec celles de 1.6.3.

5.5.9. Soient $X$ et $Y$ deux variétés et $f$ un morphisme de $X$ dans $Y$ . On appelle rang de $f$ en un point $a$ de $X$ , et on note $\mathrm{rg}_a f$ , le rang (fini ou égal à $+\infty$ ) de l’application linéaire $T_a(f)$ . L’application $a \mapsto \mathrm{rg}_a f$ est semi-continue inférieurement.

5.6. Produits de variétés

5.6.1. Soient $X$ et $X'$ deux ensembles et soit $c = (U, \varphi, E)$ (resp. $c' = (U', \varphi, E')$ ) une carte de $X$ (resp. $X'$ ). Le triplet

(U \times U', \varphi \times \varphi', E \times E')

est une carte de l’ensemble produit $X \times X'$ , notée $c \times c'$ .

5.6.2. Soient $X$ et $X'$ deux variétés de classe $C^r$ . Il existe sur l’ensemble produit $X \times X'$ une structure de variété de classe $C^r$ et une seule telle que $c \times c'$ soit une carte de $X \times X'$ pour toute carte $c$ de $X$ et toute carte $c'$ de $X'$ . Muni de cette structure, $X \times X'$ s’appelle la variété produit des variétés $X$ et $X'$ . On définit de même le produit d’un nombre fini quelconque de variétés. La topologie de la variété $X \times X'$ est la topologie produit des topologies de $X$ et de $X'$ . Pour $a \in X$ et $b \in X'$ , on a:

\dim_{(a,b)}(X \times X') = \dim_a X + \dim_b X'.

5.6.3. Soient $X$ et $X'$ deux variétés, et soit $X \times X'$ leur produit. Soit $a \in X$ et soit $a' \in X'$ . Les projections canoniques

\mathrm{pr}_1 : X \times X' \to X \quad \text{et} \quad \mathrm{pr}_2 : X \times X' \to X'

sont des morphismes. Soient $\pi_i \ (i = 1, 2)$ leurs applications linéaires tangentes au point $(a, a')$ . L’application

(\pi_1, \pi_2) : T_{(a,a')}(X \times X') \to T_a(X) \times T_{a'}(X')

est un isomorphisme, ce qui permet d’identifier l’espace tangent à $X \times X'$ en $(a, a')$ au produit $T_a(X) \times T_{a'}(X')$ .

L’injection de $T_a(X)$ dans $T_{(a,a')}(X \times X')$ résultant de cette identification est l’application linéaire tangente en $a$ au morphisme $x \mapsto (x, a')$ de $X$ dans $X \times X'$ ; on a un résultat analogue pour l’injection de $T_{a'}(X')$ dans $T_{(a,a')}(X \times X')$ .

5.6.4. Soient $W, X$ et $X'$ trois variétés, et soient $f : W \to X, f' : W \to X'$ deux applications. Pour que l’application

(f, f') : W \to X \times X'

soit un morphisme, il faut et il suffit que $f$ et $f'$ soient des morphismes (cela justifie l’emploi du terme « produit », cf. Ens., chap. IV, § 2, n° 4). Dans ce cas, si $a$ est un point de $W$ , on a:

T_a(f, f') = (T_a(f), T_a(f'))

compte tenu de l’identification faite ci-dessus.

5.6.5. Soient $f : X \to Y$ et $f' : X' \to Y'$ des morphismes de variétés. Alors $f \times f' : X \times X' \to Y \times Y'$ est un morphisme. Si $a \in X$ et $a' \in X'$ , on a:

T_{(a, a')}(f \times f') = T_a(f) \times T_{a'}(f')

\mathrm{rg}_{(a, a')}(f \times f') = \mathrm{rg}_a f + \mathrm{rg}_{a'} f'.

5.6.6. Soient $X_1, X_2$ et $Z$ trois variétés et $f$ un morphisme de $X_1 \times X_2$ dans $Z$ . Soit $a \in X_1$ et $b \in X_2$ . L’application linéaire tangente à l’application partielle $x \mapsto f(x, b)$ (resp. $y \mapsto f(a, y)$ ) de $X_1$ (resp. $X_2$ ) dans $Z$ se note $T^1_{(a, b)}(f)$ (resp. $T^2_{(a, b)}(f)$ ). Si l’on identifie $T_{(a, b)}(X_1 \times X_2)$ à $T_a(X_1) \times T_b(X_2)$ , on a:

T_{(a, b)}(f) \cdot (u, v) = T^1_{(a, b)}(f) \cdot u + T^2_{(a, b)}(f) \cdot v

pour tout $u \in T_a(X_1)$ et tout $v \in T_b(X_2)$ .

5.6.7. (« Théorème des fonctions implicites »). Les hypothèses et notations étant celles du numéro précédent, supposons de plus que $T^2_{(a, b)}(f)$ soit bijectif. Il existe alors un voisinage ouvert $U$ de $a$ dans $X_1$ et un voisinage ouvert $V$ de $b$ dans $X_2$ possédant la propriété suivante: pour tout $x \in U$ , il existe un point $g(x)$ de $V$ et un seul tel que $f(x, g(x)) = f(a, b)$ , et l’application $g$ est un morphisme de $U$ dans $V$ . Pour tout $x \in U$ , on a:

T_x(g) = - (T^2_{(x, g(x))}(f))^{-1} \circ T^1_{(x, g(x))}(f).

5.7. Immersions, morphismes étales

5.7.1. Soient $X$ et $Y$ deux variétés, $f$ un morphisme de $X$ dans $Y$ et $a$ un point de $X$ . Posons $b = f(a)$ . Les conditions suivantes sont équivalentes: (i) L’application linéaire $T_a(f)$ est injective et son image est un sousespace vectoriel fermé de $T_b(Y)$ admettant un supplémentaire topologique $^1$ ;

(ii) Il existe un espace de Banach $F$ , un sous-espace vectoriel fermé $E$ de $F$ admettant un supplémentaire topologique, et des cartes $(U, \varphi, E)$ de $X$ en $a$ et $(V, \psi, F)$ de $Y$ en $b$ telles que $f(U) \subset V$ et $\varphi = \psi \circ (f|U)$ .

(iii) Il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ , un voisinage ouvert $V$ de $b$ contenant $f(U)$ , une variété $Z$ , un point $c$ de $Z$ , et un isomorphisme de variétés $g$ de $U \times Z$ sur $V$ tels que $f(x) = g(x, c)$ pour tout $x \in U$ .

(iv) Il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ , un voisinage ouvert $V$ de $b$ et un morphisme $q$ de $V$ dans $X$ avec $f(U) \subset V$ , et $q(f(x)) = x$ pour tout $x \in U$ .

Lorsque $X$ et $Y$ sont de dimension finie, les conditions précédentes sont encore équivalentes à la suivante:

(v) Il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ , un système de coordonnées $(\eta^1, \ldots, \eta^n)$ de $Y$ dans un voisinage ouvert $V$ de $b$ contenant $f(U)$ et un entier $m \leq n$ tels que $\eta^j \circ f = 0$ pour $m < j \leq n$ et que les fonctions $\eta^1 \circ f, \ldots, \eta^m \circ f$ forment un système de coordonnées de $X$ dans $U$ .

Si les propriétés (i) à (iv) sont satisfaites, on dit que $f$ est une immersion en $a$ .

L’ensemble des points où $f$ est une immersion est ouvert dans $X$ ; si cet ouvert est $X$ tout entier, on dit que $f$ est une immersion.

Pour que $f$ soit une immersion, il faut et il suffit que l’on puisse recouvrir $X$ par des ouverts $U_i$ tels que, pour tout $i, f|U_i$ soit un isomorphisme de $U_i$ sur une sous-variété de $Y$ (cf. n° 5.8.3).

5.7.2. Exemples: (a) Si $X$ est un ouvert d’une variété $Y$ , l’injection canonique de $X$ dans $Y$ est une immersion. (b) Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $u$ une application linéaire continue de $E$ dans $F$ . Alors $u$ est une immersion si et seulement si $u$ est un isomorphisme de $E$ sur un sous-espace vectoriel fermé de $F$ admettant un supplémentaire topologique.

5.7.3. Soient $f : X \to Y$ et $g : Y \to Z$ deux morphismes. Si $f$ et $g$ sont des immersions, $g \circ f$ est une immersion. Réciproquement, si $g \circ f$ est une immersion, alors $f$ est une immersion. Si $f : X \to Y$ et $f' : X' \to Y'$ sont des immersions, $f \times f'$ est une immersion.

5.7.4 Supposons que $X$ et $Y$ soient des variétés de dimension finie sur un corps $K$ de caractéristique 0. Si $f : X \to Y$ est un morphisme injectif, l’ensemble des points de $X$ où $f$ est une immersion est un ouvert dense

$^1$ Tout sous-espace vectoriel fermé de codimension finie d’un espace de Banach admet un supplémentaire topologique; si $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ , il en est de même de tout sous-espace vectoriel (nécessairement fermé) de dimension finie.

dans X. Si K = R ou C, ce résultat reste vrai si l’ou suppose seulement que X est de dimension finie.

5.7.5. Soit $f : X \to Y$ une immersion et soit $g$ une application continue d’une variété Z dans X. Pour que $g$ soit un morphisme, il faut et il suffit que $f \circ g$ soit un morphisme.

5.7.6. Soit $f : X \to Y$ un morphisme, et soit $a$ dans X. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes: (i) $T_a(f)$ est bijectif. (ii) Il existe un voisinage ouvert U de $a$ et un voisinage ouvert V de $f(a)$ tels que $f$ induise un isomorphisme de U sur V. Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit que $f$ est un isomorphisme local en $a$ , ou que $f$ est étale en $a$ . Si cela a lieu pour tout $a \in X$ , on dit que $f$ est étale, ou est un étalement, ou que X est étalé dans Y (au moyen de $f$ ). Pour qu’un morphisme soit étale, il faut et il suffit que ce soit à la fois une immersion (n° 5.7.1) et une submersion (n° 5.9.1.).

5.7.7. Soit $f : X \to Y$ une immersion ; supposons la variété X pure de dimension finie. Alors $f$ est étale dans chacun des deux cas suivants: (i) $\dim Y = \dim X$ ; (ii) $f$ est surjective et la topologie de X admet une base dénombrable d’ouverts.

5.7.8. Pour qu’un morphisme $f$ soit un isomorphisme sur une sous-variété ouverte (resp. un isomorphisme), il faut et il suffit que $f$ soit étale et injectif (resp. étale et bijectif).

5.8. Images inverses de structures de variété, sous-variétés

5.8.1. Soient X un espace topologique, Y une variété et $f$ une application de X dans Y. Considérons les conditions suivantes: (QR) (resp. (R)) Pour tout $a \in X$ , il existe un voisinage ouvert U de a dans X et une carte $(V, \varphi, E)$ de la variété Y en $f(a)$ tels que $f(U) \subset V$ et que $\varphi \circ f$ induise un homéomorphisme de U sur l’intersection de $\varphi(V)$ avec un sous-espace vectoriel fermé (resp. fermé et admettant un supplémentaire topologique) F de E. Si la condition (QR) est réalisée, il existe sur X une structure de variété et une seule pour laquelle les triplets $(U, \varphi \circ f, F)$ (avec les notations de (QR)) sont des cartes de X. On l’appelle la structure image inverse de la structure de variété de Y par $f$ . Sa topologie est celle de X. Pour qu’il existe sur X une structure de variété compatible avec la topologie donnée et pour laquelle $f$ soit une immersion, il faut et il suffit que la condition (R) soit satisfaite. Cette structure est alors unique : c’est l’image inverse par $f$ de la structure de variété de $Y$ .

5.8.2. La condition (R) ci-dessus est notamment satisfaite lorsque pour tout $a \in X$ il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ tel que $f|U$ soit un homéomorphisme de $U$ sur un ouvert de $Y$ . Dans ce cas, la variété $X$ obtenue est étalée sur $Y$ (5.7.6).

5.8.3. Supposons maintenant que $X$ soit un sous-espace topologique de $Y$ , $f$ étant l’injection canonique. Si $f$ satisfait à la condition (R) (resp. (QR)) du n° 5.8.1, on dit que $X$ , muni de la structure image inverse de la structure de variété de $Y$ par $f$ , est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de $Y$ . Une sous-variété est une quasi-sous-variété.

Toute quasi-sous-variété est localement fermée ; tout ouvert est une sous-variété et sa structure est celle définie au n° 5.2.3.

Lorsque $Y$ est localement de dimension finie, un sous-espace topologique $X$ de $Y$ est une sous-variété de $Y$ si et seulement si, pour tout $a \in X$ , il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ dans $Y$ , un système de coordonnées $(\xi^1, \ldots, \xi^m)$ de $Y$ dans $U$ , et un entier $k \leq m$ tels que $U \cap X$ soit l’ensemble des points de $U$ où s’annulent simultanément les fonctions $\xi^i$ pour $1 \leq i \leq k$ .

Soit $f : X \to Y$ un morphisme de variétés. Supposons que $f$ soit une immersion, et que $f$ induise un homéomorphisme de $X$ sur $f(X)$ . Alors $f(X)$ est une sous-variété de $Y$ , et $f$ induit un isomorphisme de $X$ sur $f(X)$ ; on dit alors que $f$ est un plongement de $X$ dans $Y$ .

5.8.4. Soient $Y$ et $W$ deux variétés, soit $X$ une sous-variété de $Y$ et soit $f$ une application de $X$ dans $W$ . Pour que $f$ soit un morphisme, il faut et il suffit que, pour tout $a \in X$ , il existe un voisinage $U$ de $a$ dans $Y$ et un morphisme $g : U \to W$ tels que $g$ coïncide avec $f$ sur $U \cap X$ .

5.8.5. Soit $X$ une quasi-sous-variété d’une variété $Y$ , et soit $g$ une application d’une variété $Z$ dans $X$ . Supposons que $K$ soit de caractéristique 0, ou que $X$ soit une sous-variété de $Y$ . Pour que $g$ soit un morphisme de $Z$ dans $X$ , il faut et il suffit que ce soit un morphisme de $Z$ dans $Y$ : autrement dit, la structure de variété de $X$ est induite par celle de $Y$ (Ens., ch. IV, § 2, n° 4).

5.8.6. Si $X$ est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de $Y$ et si $Y$ est une sous-variété d’une variété $Z$ , alors $X$ est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de $Z$ .

5.8.7. Soit $X_i$ (pour $i = 1, 2$ ) une variété et soit $Y_i$ une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de $X_i$ (pour $i = 1, 2$ ). Alors $Y_1 \times Y_2$ est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de $X_1 \times X_2$ .

5.8.8. Soit X une quasi-sous-variété d'une variété Y ; soit x un point de X et notons f l'injection canonique de X dans Y. L'application T_x(f) : T_x(X) → T_x(Y) est injective et elle permet d'identifier l'espace T_x(X) à un sous-espace vectoriel fermé de T_x(Y). L'espace vectoriel topologique quotient T_x(Y)/T_x(X) est un espace de Banach, qu'on appelle espace transversal en x à X (dans Y). Sa dimension (finie ou +∞) s'appelle la codimension de X dans Y au point x.

Si de plus X est une sous-variété de Y, alors l'espace T_x(X) admet un supplémentaire topologique dans T_x(Y).

5.8.9. Soit f une application d'une variété X dans une variété Y, et soit Γ son graphe. Pour que f soit un morphisme, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites : (i) Γ est une sous-variété de X × Y. (ii) Pour tout (x, y) ∈ Γ, on a

T_{(x,y)}(X \times Y) = T_{(x,y)}(\Gamma) \oplus T_y(Y).

S'il en est ainsi, l'application

\mathrm{pr}_1

induit un isomorphisme de

\Gamma

sur X, et

T_{(x,y)}(\Gamma)

s'identifie au graphe de

T_x(f)

En particulier, la diagonale de X × X est une sous-variété de X × X.

5.8.10. Soit Y une variété, et soit (f_i)_{i∈I} une famille finie de fonctions morphiques sur Y. Soit X l'ensemble des x ∈ Y tels que f_i(x) = 0 pour tout i. Faisons l'hypothèse suivante : (J) Pour tout x ∈ X, les différentielles d_x f_i sont linéairement indépendantes dans T'_x(Y).

Alors X est une sous-variété fermée de Y, l'espace tangent T'_x(X) est le sous-espace de T_x(Y) formé des α tels que α . f_i = 0 pour tout i dans I. De plus, la codimension de X dans Y est égale à Card (I) en chacun de ses points.

5.8.11. (Points simples d'un idéal). Soit a un idéal de l'algèbre de polynômes K[X_1, ..., X_n]. Un point x = (x_1, ..., x_n) de K^n est appelé un zéro de a si f(x) = 0 pour tout f ∈ a. Si x ∈ K^n, notons S_x la sous-algèbre de K(X_1, ..., X_n) formée des fractions f/g, avec f, g ∈ K[X_1, ..., X_n], et g(x) ≠ 0; notons a_x l'idéal de S_x engendré par a dans S_x. Un point x est appelé un zéro simple de a si c'est un zéro de a et si la condition suivante est satisfaite : (S) Il existe une suite finie (f_1, ..., f_m) d'éléments de a qui engendrent l'idéal a_x et dont les différentielles en x sont linéairement indépendantes. (Cette condition équivaut à dire que l'anneau local S_x/a_x est régulier (Alg. Comm., à paraître).) Soit Z (resp. Z_s) l'ensemble des zéros (resp. des zéros simples) de a. L'ensemble Z est fermé dans K^n, Z_s est ouvert dans Z, et Z_s est une sous-variété de $K^n$ . Si $x \in Z_s$ , l’idéal $K[X_1, \ldots, X_n] \cap a_x$ se compose des polynômes $f$ nuls sur un voisinage de $x$ dans $Z_s$ .

Soit $\bar{a}$ l’idéal des polynômes nuls sur $Z$ . Si $K$ est algébriquement clos, l’ensemble des zéros simples de $a$ est dense dans $Z$ .

5.8.12. Soient $X$ une variété et $L$ l’ensemble des couples $(x, Z)$ où $x$ est un point de $X$ et $Z$ une sous-variété de $X$ contenant $x$ . Etant donnés deux couples $\pi = (x, Z)$ et $\pi' = (x', Z')$ , nous noterons $R\{\pi, \pi'\}$ la relation :

« On a $x = x'$ et il existe un voisinage $U$ de $x$ tel que $U \cap Z = U \cap Z'$ ». Alors $R$ est une relation d’équivalence dans $L$ ; on note $\gamma_x(Z)$ la classe d’équivalence du couple $(x, Z) \in L$ . Sur l’ensemble $J = L/R$ , il existe une structure de variété et une seule qui vérifie la condition suivante : Pour toute sous-variété $Z$ de $X$ , l’application $x \mapsto \gamma_x(Z)$ de $Z$ dans $J$ est un isomorphisme de $Z$ sur une sous-variété ouverte de $J$ . On dit que $J$ est la variété des germes de sous-variétés de $X$ (cf. Top. Gén., chap. I, 4e éd., § 6, n° 10). L’application $\rho : J \to X$ définie par $\rho(\gamma_x(Z)) = x$ est une immersion ; on l’appelle l’immersion canonique de $J$ dans $X$ . Si $X$ est une variété analytique séparée de dimension finie, il en est de même de $J$ .

5.9. Submersions et variétés quotients

5.9.1. Soient $f : X \to Y$ un morphisme de variétés, $a$ un point de $X$ et posons $b = f(a)$ . Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) L’application linéaire $T_a(f)$ est surjective, et son noyau admet un supplémentaire topologique dans $T_a(X)$ . (ii) Il existe une carte $(U, \varphi, E)$ de $X$ en $a$ , une carte $(V, \psi, F)$ de $Y$ en $b$ et une application linéaire continue surjective $u$ de $E$ dans $F$ telles que

f(U) \subset V, \quad \psi \circ f = u \circ \varphi

et que le noyau de

u

admette un supplémentaire topologique dans

E

. (iii) Il existe un voisinage ouvert

U

a

, un voisinage ouvert

V

b

contenant

f(U)

, et un morphisme

g

U

dans une variété

Z

tels que l’application

(f, g)

U

dans

V \times Z

soit un isomorphisme. (iv) Il existe un voisinage ouvert

V

b

et un morphisme

s

V

dans

X

tels que

s(b) = a

f(s(y)) = y

pour tout

y

dans

V

(« section locale »). Lorsque

X

Y

sont de dimension finie, les conditions précédentes sont équivalentes à la condition suivante : (v) Il existe un voisinage ouvert

U

a

, un voisinage ouvert

V

b

contenant

f(U)

, et un système de coordonnées

(\eta^1, \ldots, \eta^n)

sur

V

tels que les fonctions

\eta^i \circ f

sur

U

fassent partie d’un système de coordonnées sur

U

. Si les propriétés (i) à (iv) sont satisfaites, on dit que

f

est une submersion en

a

. L’ensemble des points où

f

est une submersion est ouvert dans

X

; si cet ouvert est

X

tout entier, on dit que

f

est une submersion.

5.9.2. Soient $f : X \to Y$ et $g : Y \to Z$ deux morphismes. Si $f$ et $g$ sont des submersions, il en est de même de $g \circ f$ ; réciproquement, si $g \circ f$ est une submersion et si $f$ est surjective, alors $g$ est une submersion.

5.9.3. Si $f : X \to Y$ et $f' : X' \to Y'$ sont des submersions, $f \times f'$ est une submersion.

5.9.4. Une submersion $f : X \to Y$ est une application ouverte (cf. Top. gén., chap. I, 4e éd., § 5, n° 1); en particulier, la relation d'équivalence R définie par $f$ est ouverte, $f$ définit par passage au quotient un homéomorphisme de $X/R$ sur $f(X)$ , et $f(X)$ est ouvert dans $Y$ .

5.9.5. Soit $R$ une relation d'équivalence sur une variété $X$ . On dit que $R$ est régulière s'il existe sur l'espace quotient $X/R$ une structure de variété telle que la projection canonique $p : X \to X/R$ soit une submersion; cette structure de variété est alors unique; elle est quotient de celle de $X$ (Ens., ch. IV, § 2, n° 6): autrement dit, pour qu'une application $g$ de $X/R$ dans une variété $Y$ soit un morphisme, il faut et il suffit que $g \circ p$ soit un morphisme de $X$ dans $Y$ .

Soit $C \subset X \times X$ le graphe de $R$ . Pour que $R$ soit régulière, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites: (i) $C$ est une sous-variété de $X \times X$ . (ii) L'application $\mathrm{pr}_1$ de $C$ dans $X$ est une submersion.

La condition (ii) signifie aussi que si $a$ et $b$ sont congrus modulo $R$ , il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ et un morphisme $s$ de $U$ dans $X$ tel que $s(a) = b$ et que $s(x)$ soit congru à $x$ modulo $R$ pour tout $x \in U$ .

Supposons $R$ régulière. Pour que la variété quotient $X/R$ soit séparée, il faut et il suffit que le graphe de $R$ soit fermé dans $X \times X$ .

5.9.6. Soient $X$ et $X'$ deux variétés, $R$ et $R'$ des relations d'équivalence régulières sur $X$ et $X'$ , et soit $f : X \to X'$ un morphisme compatible avec les relations $R$ et $R'$ . L'application $\tilde{f} : X/R \to X'/R'$ déduite de $f$ par passage aux quotients est alors un morphisme.

5.9.7. (« Transitivité des quotients ») Soient $R$ et $S$ deux relations d'équivalence sur une variété $X$ telles que $R$ entraîne $S$ , et soit $S/R$ la relation d'équivalence quotient sur $X/R$ . Supposons que $R$ soit régulière. Alors, pour que $S$ soit régulière, il faut et il suffit que $S/R$ le soit; s'il en est ainsi, la bijection canonique

(X/R)/(S/R) \to X/S

est un isomorphisme de variétés.

5.9.8. (« Produits de quotients ») Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille finie de variétés, munies chacune d'une relation d'équivalence régulière $R_i$ . Soit $X = \prod_{i \in I} X_i$ , et soit $R$ la relation d'équivalence sur $X$ produit des $R_i$ (cf. Top. Gén., chap. I, 4e éd., § 5, n° 3, cor. de la prop. 8). Alors $R$ est régulière, et la bijection canonique de $X/R$ sur $\prod_{i \in I} (X_i/R_i)$ est un isomorphisme de variétés.

5.10. Subimmersions

5.10.1. Soit $f : X \to Y$ un morphisme de variétés et soit $\Gamma$ le graphe de $f$ . L'application $j : x \mapsto (x, f(x))$ est une immersion de $X$ dans $X \times Y$ , dont l'image est la sous-variété $\Gamma$ , et $f = \mathrm{pr}_2 \circ j$ est composé de l'immersion $j$ suivie de la submersion $\mathrm{pr}_2$ .

Soit $a \in X$ . On dit que $f$ est une submersion en $a$ s'il existe un voisinage ouvert $U$ de $a$ , une variété $Z$ , une submersion $s$ de $U$ dans $Z$ et une immersion $i$ de $Z$ dans $Y$ tels que $f|U = i \circ s$ . L'ensemble des points de $X$ où $f$ est une submersion est un ouvert de $X$ ; si cet ouvert est $X$ tout entier, on dit que $f$ est une submersion.

5.10.2. Les immersions et les submersions sont des submersions. Si $f : X \to Y$ est une submersion, $g : Y \to Z$ une immersion et $h : W \to X$ une submersion, alors $g \circ f \circ h$ est une submersion.

Si $f$ et $f'$ sont des submersions, $f \times f'$ est une submersion.

5.10.3. Pour que $f : X \to Y$ soit une submersion en un point $a$ de $X$ , il faut et il suffit qu'il existe une carte $(U, \varphi, E)$ de $X$ en $a$ , une carte $(V, \psi, F)$ de $Y$ au point $f(a)$ et une application linéaire continue $g$ de $E$ dans $F$ tels que: (i) $f(U) \subset V,\ g(\varphi(U)) \subset \psi(V)$ et $f|U = \psi^{-1} \circ g \circ \varphi$ ; (ii) le noyau (resp. l'image) de $g$ est un sous-espace fermé de $E$ (resp. $F$ ) admettant un supplémentaire topologique.

5.10.4. Soient $X$ et $Y$ deux variétés de dimension finie. Pour qu'un morphisme $f$ de $X$ dans $Y$ soit une submersion en un point $a$ de $X$ , il faut et il suffit qu'il existe un système de coordonnées $(\xi^1, \ldots, \xi^m)$ de $X$ en $a$ , un système de coordonnées $(\eta^1, \ldots, \eta^n)$ de $Y$ en $f(a)$ et un entier $k \leq \inf(m, n)$ tels que

\eta^i \circ f = \xi^i \quad \text{pour } 1 \leq i \leq k \\ \eta^i \circ f = 0 \quad \text{pour } k < i \leq n.

5.10.5. Soit $f : X \to Y$ une submersion. Pour tout $b \in Y$ , $f^{-1}(b)$ est une sous-variété de $X$ ; le sous-espace de $T_a(X)$ tangent à la sous-variété $f^{-1}(b)$ au point $a \in f^{-1}(b)$ est le noyau de $T_a(f)$ .

5.10.6. (« Théorème du rang constant ») Soit $f : X \to Y$ un morphisme de variétés et soit $a \in X$ . Si $f$ est une subimmersion en $a$ , on a $\mathrm{rg}_x f = \mathrm{rg}_a f$ pour $x$ voisin de $a$ .

Réciproquement, supposons le corps $K$ de caractéristique zéro. Soient $(U, \varphi, E)$ une carte de $X$ en $a$ et soit $(V, \psi, F)$ une carte de $Y$ en $f(a)$ , avec $f(U) \subset V$ . Posons $g = \psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ . S’il existe un sous-espace vectoriel fermé $E_1$ de $E$ et un sous-espace vectoriel fermé $F_1$ de $F$ tels que pour tout $x \in U$ , le sous-espace $E_1$ (resp. $F_1$ ) soit un supplémentaire topologique du noyau (resp. de l’image) de la dérivée $Dg(\varphi(x))$ de $g$ au point $\varphi(x)$ , alors $f$ est une subimmersion en $a$ .

Si $K$ est de caractéristique zéro (resp. $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ ) et si $Y$ est de dimension finie (resp. $\mathrm{rg}_a f < +\infty$ ), alors $f$ est une subimmersion en $a$ si et seulement si $\mathrm{rg}_x f = \mathrm{rg}_a f$ pour tout $x$ assez voisin de $a$ .

Si $K$ est de caractéristique zéro (resp. $K = \mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ ) et $Y$ (resp. $X$ ) de dimension finie, l’ensemble des points $x \in X$ où $f$ est une subimmersion est un ouvert dense dans $X$ .

5.10.7. (« Factorisation canonique d’une subimmersion ») Toute subimmersion est composée d’une submersion et d’une immersion. De façon précise, soit $f : X \to Y$ une subimmersion, et soit $J$ la variété des germes de sous-variétés de $Y$ (5.8.12). Soient $x$ dans $X$ et $y = f(x)$ ; il existe des voisinages ouverts $U$ de $x$ tels que $f|U$ soit une submersion de $U$ sur une sous-variété $Z$ de $Y$ ; l’élément $\gamma_y(Z)$ de $J$ ne dépend que de $x$ mais non du voisinage $U$ choisi, et, si on le note $\lambda(x)$ , l’application $\lambda$ est une submersion de $X$ dans $J$ ; si l’on note $\rho$ l’immersion canonique de $J$ dans $Y$ , on a $f = \rho \circ \lambda$ . Si $f$ est une immersion, le morphisme $\lambda$ de $X$ dans $J$ est étale.

Si $g$ est une submersion surjective de $X$ dans une variété $Z$ et $h$ un morphisme de $Z$ dans $Y$ tels que $f = h \circ g$ , il existe une submersion $\mu$ et une seule de $Z$ dans $J$ telle que $\lambda = \mu \circ g$ .

5.11. Produits fibrés et images réciproques

5.11.1. Soient $F$ un espace de Banach, $(E_i)_{i \in I}$ une famille finie d’espaces de Banach et $f = (f_i)_{i \in I}$ une famille d’applications linéaires continues $f_i$ de $E_i$ dans $F$ . Soient $E$ le produit des $E_i$ et $f$ l’application linéaire continue de $E$ dans $F^I$ produit des $f_i$ . Soit enfin $D$ le sous-espace fermé de $F^I$ formé des $(y_i)_{i \in I}$ tels que $y_i$ soit indépendant de $i$ (« diagonale » de $F^I$ ). On dit que la famille $f$ est transversale si l’application linéaire continue composée de $f$ et de la projection canonique de $F^I$ sur le quotient $F^I/D$ est surjective et si son noyau $f^{-1}(D)$ admet un supplémentaire topologique.

Si les espaces $E_i$ et $F$ sont tous de dimension finie, la famille $f$ est transversale si et seulement si l’on a:

\operatorname{codim} \left( \bigcap_i \operatorname{Im} f_i \right) = \sum_i \operatorname{codim} (\operatorname{Im} f_i)

Si $I = \{1, 2\}$ , le couple $(f_1, f_2)$ est transversal si et seulement si l’application

f_1 + f_2 : E_1 \oplus E_2 \to F

est surjective et si son noyau admet un supplémentaire topologique (si $E_1$ et $E_2$ sont de dimension finie, il revient au même de dire que

\operatorname{Im} f_1 + \operatorname{Im} f_2 = F).

5.11.2. Soient $S$ une variété, $(X_i)_{i \in I}$ une famille finie de variétés et $f = (f_i)_{i \in I}$ une famille de morphismes $f_i$ de $X_i$ dans $S$ . Soit $P$ le sous-ensemble du produit $X$ des $X_i$ formé des points $(x_i)_{i \in I}$ tels que $f_i(x_i)$ soit indépendant de $i$ . Soit $x \in P$ et soit $y = f_i(x_i) \in F$ . On dit que la famille $f$ est transversale au point $x$ de $P$ si les applications $T_x(f_i)$ forment une famille transversale d’applications linéaires continues à valeurs dans l’espace de Banach $T_y(S)$ . On dit que $f$ est transversale si elle est transversale en tout point de $P$ .

Si $f$ est transversale, alors $P$ est une sous-variété de $X$ , que l’on appelle produit fibré de la famille des $X_i$ au dessus de $S$ (relativement à la famille $f$ ) et que l’on note $\prod_{i \in I} X_i$ (ou plus simplement $X_1 \times_S X_2$ lorsque $I = \{1, 2\}$ par exemple). Pour tout point $x = (x_i)$ de $P$ , l’espace tangent $T_x(\prod_{i \in I} X_i)$ est le sous-espace de $\prod T_{x_i}(X_i)$ formé des vecteurs tangents $t = (t_i)$ tels que $T_{x_i}(f_i) \cdot t_i$ soit indépendant de l’indice $i$ .

Si $f_1 : X_1 \to Y$ est une submersion et $f_2 : X_2 \to Y$ un morphisme, le couple $(f_1, f_2)$ est transversal.

5.11.3. (Propriété universelle des produits fibrés) Soit $f = (f_i)_{i \in I}$ une famille transversale de morphismes $f_i : X_i \to S$ et soit $P$ le produit fibré des $X_i$ au-dessus de $S$ ; pour tout $i \in I$ , on note $\pi_i$ le morphisme de $P$ dans $X_i$ obtenu par restriction à $P$ de la projection de $X$ sur $X_i$ ; alors $f_i \circ \pi_i$ est un morphisme de $P$ dans $S$ indépendant de $i$ . Soient $T$ une variété, et $g_i : T \to X_i$ des morphismes de variétés tels que $f_i \circ g_i$ soit un morphisme de $T$ dans $S$ indépendant de $i \in I$ ; il existe alors un morphisme $h$ de $T$ dans $P$ et un seul tel que $g_i = \pi_i \circ h$ pour tout $i \in I$ .

5.11.4. (Associativité du produit fibré) Soit $f = (f_i)_{i \in I}$ une famille finie de morphismes de variétés $f_i : X_i \to S$ , et soit $(J_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ une partition de $I$ . On suppose que, pour tout $\lambda$ dans $\Lambda$ , la famille $f_\lambda = (f_i)_{i \in J_\lambda}$ est transversale, et l’on note $P_\lambda$ le produit fibré de cette famille; pour tout point $x = (x_i)_{i \in J_\lambda}$ de $P_\lambda$ , l’élément $f_i(x_i)$ de $S$ est indépendant de $i \in J_\lambda$ et sera noté $u_\lambda(x)$ ;

alors $u_\lambda$ est un morphisme de $P_\lambda$ dans $S$ . Pour que la famille $u = (u_\lambda)$ soit transversale, il faut et il suffit que la famille $f$ le soit. La bijection canonique de $\prod_{\lambda \in \Lambda} \prod_{i \in J_\lambda} X_i$ sur $\prod_{i \in I} X_i$ donne alors par restriction un isomorphisme du produit fibré $\prod_{\lambda \in \Lambda} \prod_{s} P_\lambda$ sur le produit fibré $\prod_{i \in I} \prod_{s} X_i$ .

5.11.5. Soit $S$ une variété. On appelle variété au dessus de $S$ une variété $X$ munie d’un morphisme $\lambda : X \to S$ . Soient $(X, \lambda)$ une variété au dessus de $S$ et $f : S' \to S$ un morphisme de variétés tel que le couple $(f, \lambda)$ soit transversal. On notera alors $f^*(X)$ la variété $S' \times_S X$ , munie du morphisme $f^*(\lambda) : S' \times_S X$ défini par $f^*(\lambda)(s', x) = s'$ . On dit que $f^*(X)$ se déduit de $X$ par changement de base de $S$ à $S'$ suivant $f$ . Si $\lambda$ est une submersion (resp. une immersion, une subimmersion, un morphisme étale), il en est de même de $f^*(\lambda)$ .

5.11.6. Soit $f : X \to Y$ un morphisme de variétés et soit $W$ une sous-variété de $Y$ ; soit $i$ l’injection canonique de $W$ dans $Y$ . On dit que $f$ est transversal à $W$ en un point $x \in f^{-1}(W)$ si le couple $(f, i)$ est transversal au point $(x, f(x))$ de $X \times W$ . Pour cela, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites : (i) l’espace tangent $T_{f(x)}(Y)$ est somme de $T_{f(x)}(W)$ et de l’image de $T_x(f)$ ; (ii) l’image réciproque $T_x(f)^{-1}(T_{f(x)}(W))$ de l’espace tangent à $W$ en $f(x)$ admet un supplémentaire topologique. On dit que $f$ est tranversal à $W$ s’il est transversal à $W$ en tout point de $f^{-1}(W)$ . Pour qu’un morphisme $f$ de $X$ dans $Y$ soit une submersion, il suffit qu’il soit transversal à tout point de $Y$ et il faut qu’il soit transversal à toute sous-variété de $Y$ . Pour qu’une famille finie de morphismes $f_i : X_i \to S$ soit transversale, il faut et suffit que le morphisme $g$ de $\prod_{i \in I} X_i$ dans $S^I$ défini par $g((x_i)_{i \in I}) = (f_i(x_i))_{i \in I}$ soit transversal à la diagonale de $S^I$ .

5.11.7. Supposons que le morphisme $f : X \to Y$ soit transversal à la sous-variété $W$ de $Y$ . Alors $f^{-1}(W)$ est une sous-variété de $X$ , et pour $x$ dans $f^{-1}(W)$ le sous-espace de $T_x(X)$ tangent à $f^{-1}(W)$ est l’image réciproque par $T_x(f)$ du sous-espace $T_{f(x)}(W)$ . Par passage au quotient, l’application linéaire $T_x(f)$ définit un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques de l’espace transversal à $f^{-1}(W)$ en $x$ sur l’espace transversal à $W$ en $y = f(x)$ . Si $W$ est de codimension $d$ en $y$ dans $Y$ , la sous-variété $f^{-1}(W)$ de $X$ est de codimension $d$ en tout point de $f^{-1}(W)$ . Enfin, l’application $x \mapsto (x, f(x))$ est un isomorphisme de variétés de $f^{-1}(W)$ sur le produit fibré $X \times_Y W$ .

5.11.8. Soient $Y_1$ et $Y_2$ deux sous-variétés d'une variété $X$ , et soit $\iota_j$ l'injection de $Y_j$ dans $X$ . On dit que $Y_1$ et $Y_2$ sont transversales si le couple $(\iota_1, \iota_2)$ est transversal ; il revient au même de supposer que, pour tout point $x$ de $Y_1 \cap Y_2$ , les sous-espaces $T_x(Y_1)$ et $T_x(Y_2)$ de $T_x(X)$ ont $T_x(X)$ pour somme, et que leur intersection admet un supplémentaire topologique dans $T_x(X)$ . Sous ces conditions, $Y_1 \cap Y_2$ est une sous-variété de $X$ et pour tout $x$ dans $Y_1 \cap Y_2$ , on a :

T_x(Y_1 \cap Y_2) = T_x(Y_1) \cap T_x(Y_2);

si de plus $Y_i$ est de codimension $d_i$ en $x$ , alors $Y_1 \cap Y_2$ est de codimension $d_1 + d_2$ en $x$ .

5.11.9. Soient $f$ et $g$ deux morphismes d'une variété $X$ dans une variété $Y$ . Si le morphisme $(f, g) : X \to Y \times Y$ est transversal à la diagonale de $Y \times Y$ , le sous-ensemble $N$ de $X$ formé des points $x$ tels que $f(x) = g(x)$ est une sous-variété de $X$ ; on l'appelle le noyau de la double flèche

f, g : X \twoheadrightarrow Y.

5.12. Variétés de groupes

5.12.1. Soit $G$ un groupe. Une structure de variété sur $G$ est dite compatible avec la structure de groupe de $G$ si l'application $(x, y) \mapsto xy$ de $G \times G$ dans $G$ est un morphisme. L'application $x \mapsto x^{-1}$ est alors un morphisme de $G$ dans lui-même. L'ensemble $G$ , muni de sa structure de groupe et de sa structure de variété, est appelé une variété de groupe (« de classe $C^r$ » si l'on veut préciser), ou encore un groupe de Lie. Si $r = \omega$ , on dit aussi groupe analytique. Si $K = \mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}, \mathbf{Q}_p$ ), on dit encore groupe de Lie réel (resp. complexe, p-adique). Toute variété de groupe est pure. On appelle homomorphisme de variétés de groupe (ou simplement homomorphisme) toute application d'une variété de groupe dans une autre qui est à la fois un homomorphisme de groupes et un morphisme de variétés.

Si $G$ est une variété de groupe, la structure topologique sous-jacente à la structure de variété de $G$ en fait un groupe topologique métrisable et complet ; il est localement compact si $K$ est localement compact et $G$ de dimension finie.

5.12.2. Exemples : (i) Si $V$ est un espace de Banach, la structure canonique de variété de $V$ est compatible avec sa structure de groupe commutatif. (ii) Soit $A$ une $K$ -algèbre normée complète, possédant un élément unité, et soit $A^*$ le groupe des éléments inversibles de $A$ . C'est un sous-espace ouvert de $A$ et la structure de variété induite sur cet ouvert par la structure canonique de variété du $K$ -espace vectoriel $A$ est compatible avec la structure de groupe dans $A^*$ . En particulier, prenons pour $A$ l'algèbre

L(E) des endomorphismes continus d’un espace de Banach E ; le groupe $A^*$ se compose des automorphismes de l’espace vectoriel topologique E ; on note $\mathrm{GL}(E)$ la variété de groupe ainsi définie. Lorsque $A = M_n(K)$ , on obtient une structure de variété de groupe sur $\mathrm{GL}(n, K)$ .

(iii) Si $G_1, \ldots, G_n$ sont des variétés de groupes, le groupe produit $G = G_1 \times \cdots \times G_n$ est une variété de groupe, lorsqu’on le munit de la structure de variété produit de celles des $G_i$ .

5.12.3. Soit $G$ une variété de groupe, soit $H$ un groupe topologique et soit $f : H \to G$ un homomorphisme continu vérifiant la condition (QR) du n° 5.8.1. La structure de variété image inverse de celle de $G$ par $f$ fait alors de $H$ une variété de groupe. Ceci s’applique notamment lorsque $H$ est un sous-groupe de $G$ qui est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété); un tel sous-groupe s’appelle une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de groupe de $G$ ; il est nécessairement fermé dans $G$ .

Si $H_i (i = 1, \ldots, n)$ est une sous variété de groupe de $G_i$ , alors $H_1 \times \cdots \times H_n$ est une sous-variété de groupe de $G_1 \times \cdots \times G_n$ .

5.12.4. Soit $G$ une variété de groupe et soit $H$ une sous-variété de groupe de $G$ . La relation d’équivalence $x^{-1} y \in H$ est régulière, ce qui permet de munir l’espace $G/H$ des classes à gauche $xH$ d’une structure de variété dite quotient de celle de $G$ . L’application canonique $(g, x) \mapsto g \cdot x$ de $G \times (G/H)$ dans $G/H$ est un morphisme. On a des résultats analogues pour l’espace homogène $H\backslash G$ des classes à droite $Hx$ . Si $H$ est distingué, la structure de variété de $G/H$ est compatible avec sa structure de groupe.

5.12.5. Soit $G$ une variété de groupe et soit $X$ une variété. On appelle loi d’opération à gauche du groupe $G$ dans la variété $X$ tout morphisme $(s, x) \mapsto sx$ de $G \times X$ dans $X$ tel que

s(tx) = (st)x \quad \text{si} \quad s, t \in G, x \in X \\ ex = x \quad \text{si} \quad x \in X \ (\text{$ e $ étant l’élément neutre de } G).

On dit aussi que la variété de groupe $G$ opère à gauche sur $X$ ; on définit de manière analogue les lois d’opération à droite.

Soit $x \in X$ et soit $G_x$ son stabilisateur dans $G$ . Supposons que l’application $g \mapsto g \cdot x$ soit une subimmersion (hypothèse automatiquement vérifiée si la caractéristique de $K$ est 0 et $X$ de dimension finie). Alors $G_x$ est une sous-variété de groupe de $G$ et l’application de $G/G_x$ dans $X$ obtenue par passage au quotient à partir de $g \mapsto g \cdot x$ est une immersion. Si en outre l’orbite $G \cdot x$ de $x$ est localement fermée et si la topologie de $G$ admet une base dénombrable, $G \cdot x$ est une sous-variété de $X$ et l’application $G/G_x \to G \cdot x$ est un isomorphisme de variétés.

5.13. Affaiblissement de structure

Dans tout ce n°, les lettres $r, s, r', s'$ désignent, soit des entiers $\geqslant 1$ , soit l’un des symboles $\infty$ et $\omega$ . On suppose que $K = \mathbf{R}$ .

5.13.1. Soient $r \leqslant s$ , et $X$ une variété de classe $C^s$ . Il existe sur l’espace topologique $X$ une structure de variété de classe $C^r$ et une seule telle que toute carte de $X$ pour la structure donnée soit une carte de $X$ pour cette nouvelle structure. Soit $X_r$ la variété de classe $C^r$ ainsi définie. On dit qu’elle se déduit de $X$ par affaiblissement de la structure de variété de $X$ , ou encore que sa structure de variété est sous-jacente à celle de $X$ . La notion d’affaiblissement est transitive : si $r' \leqslant r$ , on a $X_{r'} = (X_r)_{r'}$ ; elle commute aux produits : si $Y$ est de classe $C^s$ , on a $(X \times Y)_r = X_r \times Y_r$ ; on a un résultat analogue pour $X \times_s Y$ sous les hypothèses du n° 5.11.2.

Soit $a \in X$ et soit $c$ une carte de $X$ en $a$ ; c’est aussi une carte de $X_r$ en $a$ . On en déduit (5.5.1) des isomorphismes

\theta_c : E \to T_a(X), \quad \theta'_c : E \to T_a(X_r),

d’où un isomorphisme $\theta'_c \circ \theta_c^{-1} : T_a(X) \to T_a(X_r)$ . Cet isomorphisme est indépendant du choix de $c$ ; il permet d’identifier les espaces tangents à $X$ et à $X_r$ en $a$ .

5.13.2. Soit $X$ (resp. $X'$ ) une variété de classe $C^s$ (resp. $C^{s'}$ ) et soit $r$ avec $r \leqslant \inf(s, s')$ . Une application $f : X \to X'$ est dite de classe $C^r$ si c’est un morphisme de $X_r$ dans $X'_r$ ; une telle application est de classe $C^{r'}$ pour tout $r' \leqslant r$ . De plus, l’application linéaire tangente à $f : X_r \to X'_r$ en un point $a \in X$ coïncide avec l’application linéaire tangente à $f$ considérée comme morphisme de $X_r$ dans $X'_r$ .

On désignera le plus souvent par le même symbole les variétés $X$ et $X_r$ ; ainsi, si $X$ est de classe $C^s$ , l’expression « une sous-variété de $X$ de classe $C^r$ » ( $r \leqslant s$ ) signifie « une sous-variété de $X_r$ ».

5.14. Restriction du corps de base

Dans ce numéro, on se donne deux corps commutatifs valués complets non discrets $K$ et $L$ , ainsi qu’un isomorphisme $\sigma$ du corps valué $K$ sur un sous-corps de $L$ . Si $E$ est un espace de Banach sur $L$ , on note $\sigma_*(E)$ l’espace vectoriel sur $K$ obtenu par restriction des scalaires (cf. Alg., chap. II, 3e éd., § 8); la topologie donnée sur $E$ est compatible avec la structure de $K$ -espace vectoriel, et $\sigma_*(E)$ est un espace de Banach sur $K$ .

5.14.1. Soit $X$ une variété analytique sur $L$ et soit $c = (U, \varphi, E)$ une carte de $X$ . L’application $\varphi$ est une bijection de $U$ sur un ouvert de $\sigma_*(E)$ et le triplet $c_\sigma = (U, \varphi, \sigma_*(E))$ est une carte de $X$ . Il existe sur $X$ une structure de variété analytique sur K et une seule pour laquelle $c_\sigma$ est une carte pour toute carte $c$ de la variété L-analytique X. On note $X_\sigma$ la variété analytique sur K ainsi obtenue et on dit que $X_\sigma$ est obtenue à partir de X par restriction des scalaires (de L à K au moyen de $\sigma$ ). L’espace topologique sous-jacent à $X_\sigma$ est le même que celui sous-jacent à X.

5.14.2. Exemples: (a) On prend $K = \mathbf{R},\ L = \mathbf{C},\ \sigma$ étant l’injection canonique de R dans C. Ainsi, toute variété analytique complexe est canoniquement munie d’une structure de variété analytique réelle ; cette structure analytique réelle définit elle-même des structures différentielles de classe $C^r$ pour tout r. (b) On prend $K = \mathbf{C},\ L = \mathbf{C},\ \sigma$ étant la conjugaison $x \mapsto \bar{x}$ . On associe ainsi à toute variété analytique complexe X une variété analytique complexe $\overline{X}$ , appelée la conjuguée de X. Si $f$ est une fonction à valeurs complexes, définie sur un ouvert U de X, $f$ est analytique pour la structure de $\overline{X}$ si et seulement si la fonction conjuguée $\bar{f}$ est analytique pour la structure de X. Les variétés X et $\overline{X}$ définissent par restriction des scalaires la même variété analytique réelle.

5.14.3. Soient X une variété analytique sur K, Y une variété analytique sur L. Une application $f : X \to Y$ est dite $\sigma$ -analytique si c’est un morphisme de X dans $Y_\sigma$ . Si $K \subset L,\ \sigma$ est l’injection de K dans L, et X est une variété analytique sur L, on appelle application K-analytique une application $\sigma$ -analytique de $X_\sigma$ dans Y.

5.14.4. Soit V un L-espace de Banach. On a $V_\sigma = \sigma_*(V)$ : la structure canonique de variété analytique sur K de $\sigma_*(V)$ se déduit par restriction des scalaires de la structure canonique de variété analytique sur L de V.

5.14.5. Soit X une variété analytique sur L, et soit $a \in X$ . Soit c une carte de X en a ; alors $c_\sigma$ est une carte de $X_\sigma$ en a et l’on en déduit des isomorphismes

\theta_c : E \to T_a(X), \quad \theta_{c_\sigma} : \sigma_*(E) \to T_a(X_\sigma)

d’où un isomorphisme

\theta_{c_\sigma} \circ \sigma_*(\theta_c)^{-1}

\sigma_*(T_a(X))

sur

T_a(X_\sigma)

; cet isomorphisme ne dépend pas du choix de c ; il permet d’identifier

T_a(X_\sigma)

\sigma_*(T_a(X))

et même à

T_a(X)

par abus d’écriture. Si

f

est une application analytique sur L de X dans une variété Y, l’application linéaire tangente à

f

en a (

f

étant considérée comme un morphisme de

X_\sigma

dans

Y_\sigma

) est égale à

\sigma_*(T_a(f))

5.14.6. Soient X et Y deux variétés analytiques sur L, et soit $f : X_\sigma \to Y$ une application $\sigma$ -analytique. Supposons que la caractéristique de K soit 0. Alors, pour que $f$ soit analytique sur L, il faut et il suffit que, pour tout $a \in X$ , l’application $T_a(f)$ soit L-linéaire.

Lorsque $K = \mathbf{R},\ L = \mathbf{C}$ (cas (a) du n° 5.14.2), on a un résultat plus précis : si $X$ et $Y$ sont de dimension finie et si $f : X \to Y$ est une application de classe $C^1$ dont l’application tangente en tout point de $x$ est $\mathbf{C}$ -linéaire, alors $f$ est analytique complexe.

5.14.7. Soient $X$ une variété analytique complexe et $g$ une application de $X$ dans elle-même satisfaisant aux conditions : (i) On a $g \circ g = \mathrm{Id}_X$ . (ii) L’application $g$ est un isomorphisme de la variété analytique $X$ sur la variété conjuguée $\overline{X}$ (5.14.2).

L’ensemble $X_0$ des points $x$ de $X$ tels que $g(x) = x$ est une sous-variété analytique fermée de la variété analytique réelle sous-jacente à $X$ . Pour $x \in X_0$ , on a $T_x(X) = T_x(X_0) \oplus i T_x(X_0)$ .

Soit $U$ un ouvert connexe de $X$ et soient $f$ et $g$ deux applications analytiques complexes de $U$ dans un espace localement convexe séparé complexe ou dans une variété analytique complexe séparée. Si $f$ et $g$ coïncident sur une partie non vide de $U \cap X_0$ , ouverte dans $X_0$ , alors $f = g$ .

Supposons $X_0$ paracompacte. Si $f$ est une application analytique réelle de $X_0$ dans un espace localement convexe séparé ou dans une variété analytique complexe séparée, il existe un voisinage ouvert $U$ de $X_0$ dans $X$ et une application analytique complexe de $U$ dans l’espace des valeurs de $f$ , prolongeant $f$ . Deux tels prolongements coïncident sur un voisinage de $X_0$ dans $X$ .

Supposons $X$ de dimension finie. Pour tout point $a \in X_0$ , il existe un système de coordonnées (complexes) $\zeta^1, \ldots, \zeta^n$ dans un voisinage ouvert $U$ de $a$ , telles que $\zeta^i \circ g = \bar{\zeta}^i$ pour $1 \leq i \leq n$ ; la restriction $\zeta^i$ de $\zeta^i$ à $U \cap X_0$ est alors à valeurs réelles et $(\xi^1, \ldots, \xi^n)$ est un système de coordonnées en $a$ de la variété analytique réelle $X_0$ .

5.14.8. Pour toute variété analytique réelle $Y$ , paracompacte, il existe un couple $(X, g)$ formé d’une variété analytique complexe $X$ et d’une application $g$ de $X$ dans elle-même satisfaisant aux conditions (i) et (ii) de 5.14.7, et un isomorphisme $f$ de $Y$ sur $X_0$ . On dit que $X$ (munie de $f$ et $g$ ) est une complexification de $Y$ .

§ 5. Variétés

5.1. Cartes et atlas. Variétés

5.2. Exemples de variétés

5.3. Fonctions de classe CrC^rCr et morphismes de variétés

5.4. Caractérisation des variétés par leurs faisceaux de fonctions

5.5. Espaces tangents, applications linéaires tangentes

5.6. Produits de variétés

5.7. Immersions, morphismes étales

5.8. Images inverses de structures de variété, sous-variétés

5.9. Submersions et variétés quotients

5.10. Subimmersions

5.11. Produits fibrés et images réciproques

5.12. Variétés de groupes

5.13. Affaiblissement de structure

5.14. Restriction du corps de base

5.3. Fonctions de classe $C^r$ et morphismes de variétés