Remarque 2

Soit E un A-module à droite plat. Si M’ est un sous-module d’un A-module à gauche M, l’injection canonique E ⊗_A M’ → E ⊗_A M permet d’identifier E ⊗_A M’ à un sous-groupe de E ⊗_A M. Ceci étant, soient N un A-module à gauche, u : M → N un homomorphisme, K = Ker u, I = Im u. La considération de la suite exacte.

montre aussitôt (prop. 1) que E ⊗_A (Ker u) s’identifie à Ker (1_E ⊗ u). D’autre part, en notant u’ l’homomorphisme surjectif M → I ayant même graphe que u, et i l’injection canonique I → N, 1_E ⊗ u’ est surjectif (n° 1, lemme 1) et 1_E ⊗ i est injectif puisque E est plat. Comme 1_E ⊗ u = (1_E ⊗ i) ∘ (1_E ⊗ u’), E ⊗_A (Im u) s’identifie à Im (1_E ⊗ u).