Remarque 5

Pour que $i_A^S$ soit une application bijective, il faut et il suffit que tout élément $s \in S$ soit inversible dans $A$ : la condition est évidemment nécessaire, puisque $s/1$ est inversible dans $A[S^{-1}]$; elle est suffisante, car pour tout $t \in \overline{S}$, $t$ est alors inversible dans $A$ et on a $a/t = at^{-1}/1$ dans $A[S^{-1}]$; donc $i_A^S$ est surjective, et on a vu en outre dans la Remarque 3 qu’elle est injective. On identifie alors $A$ et $A[S^{-1}]$ au moyen de $i_A^S$.

Exemple 7). — Si $R$ est l’ensemble des éléments non diviseurs de $0$ dans $A$, l’anneau $A[R^{-1}]$ n’est autre que ce que nous avons appelé l’anneau des fractions de $A$ (Alg., chap. I, § 9, no 4); pour éviter toute confusion, nous l’appellerons souvent l’anneau total des fractions de $A$. En particulier, si $A$ est intègre, $A[R^{-1}]$ est le corps des fractions de $A$ (loc. cit.).