Exemple 3

Soit $b$ un idéal d’un anneau $A$ qui n’est contenu que dans un seul idéal maximal $m$; alors $A/b$ est un anneau local d’idéal maximal $m/b$ et de corps résiduel canoniquement isomorphe à $A/m$. Ceci s’applique en particulier au cas où $b = m^k$, $m$ étant un idéal maximal quelconque de $A$ ($§ 1$, no 1, cor. de la prop. 1). Si $A$ est lui-même un anneau local d’idéal maximal $m$, alors, pour tout idéal $b \neq A$ de $A$, $A/b$ est un anneau local, l’homomorphisme canonique $A \to A/b$ un homomorphisme local, l’homomorphisme correspondant des corps résiduels étant bijectif.