Exemple 1

Soit $A$ un anneau gradué de type $\mathbf{Z}$; pour tout $i \in \mathbf{Z}$, soit $A_{(i)}$ le sous-groupe des éléments homogènes de degré $i$ dans $A$. Posons $A_n = \sum_{i \geq n} A_{(i)}$; alors il est immédiat que $(A_n)$ est une filtration décroissante, exhaustive et séparée, compatible avec la structure d’anneau de $A$; on dit que cette filtration est associée à la graduation $(A_{(i)})_{i \in \mathbf{Z}}$ et que l’anneau filtré $A$ est associé à l’anneau gradué $A$ donné.

Soit maintenant $E$ un module gradué de type $\mathbf{Z}$ sur l’anneau gradué $A$ et pour tout $i \in \mathbf{Z}$, soit $E_{(i)}$ le sous-groupe des éléments homogènes de degré $i$ de $E$. Posons $E_n = \sum_{i \geq n} E_{(i)}$; alors $(E_n)$ est une filtration décroissante, exhaustive et séparée, compatible avec la structure de module de $E$ sur l’anneau filtré $A$; on dit que cette filtration est associée à la graduation $(E_{(i)})_{i \in \mathbf{Z}}$ et que le module filtré $E$ est associé au module gradué $E$ donné.