Exemple 2

Étiquette 0CH1, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0CH1].

Commutative Algebra, chapter III, § 2. Généralités sur les anneaux et modules filtrés

Soient $A$ un anneau filtré, $(A_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ sa filtration, $E$ un $A$ -module. Posons $E_n = A_n E$ ; il résulte de (1) que l’on a

A_m E_n = A_m A_n E \subset A_{m+n} E = E_{m+n},

et de (2) que $E_0 = E$ ; donc $(E_n)$ est une filtration exhaustive compatible avec la structure de $A$ -module de $E$ . On dit que cette filtration sur $E$ est déduite de la filtration donnée $(A_n)$ sur $A$ ; on notera qu’elle n’est pas nécessairement séparée, même si $(A_n)$ est séparée et si $E$ et les $A_n$ sont des $A$ -modules de type fini (cf. § 3, exerc. 2 ; voir cependant § 3, n° 3, prop. 6 et n° 2, cor. de la prop. 4).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.