Exemple 3

Soient $A$ un anneau, $m$ un idéal bilatère de $A$. Posons $A_n = m^n$ pour $n \geq 0$, $A_n = A$ pour $n < 0$; il est immédiat que $(A_n)$ est une filtration exhaustive sur $A$, dite filtration $m$-adique. Soit $E$ un $A$-module ; on appelle filtration $m$-adique sur $E$ la filtration $(E_n)$ déduite de la filtration $m$-adique de $A$; autrement dit, on a $E_n = m^n E$ pour $n \geq 0$ et $E_n = E$ pour $n < 0$.

Si $A$ est commutatif et $B$ une $A$-algèbre, $n = mB$ est un idéal bilatère de $B$, et pour tout $B$-module $F$, on a $n^k F = m^k F$, donc la filtration $n$-adique sur $F$ coïncide avec la filtration $m$-adique (lorsque $F$ est considéré comme $A$-module).