Exemple 5

Sur un anneau A, les ensembles $A_n$ tels que $A_n = 0$ pour $n > 0$, $A_n = A$ pour $n \leq 0$ forment une filtration dite triviale, associée (Exemple 1) à la graduation triviale de A ; sur un A-module E, toute filtration $(E_n)$ formée de sous-A-modules est alors compatible avec la structure de module de E sur l’anneau filtré A. On peut donc dire que tout groupe commutatif filtré G est un $\mathbf{Z}$-module filtré, lorsque $\mathbf{Z}$ est muni de la filtration triviale.

Soient G un groupe filtré, $(G_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ sa filtration ; il est clair que pour tout sous-groupe H de G, $(H \cap G_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ est une filtration, dite induite par celle de G ; elle est exhaustive (resp. séparée) si celle de G l’est. De même, si H est un sous-groupe distingué de G, la famille $((H.G_n)/H)_{n \in \mathbf{Z}}$ est une filtration sur le groupe $G/H$, dite quotient par H de la filtration de G ; elle est exhaustive si $(G_n)$ l’est. Si $G'$ est un second groupe filtré, $(G'_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ sa filtration, $(G_n \times G'_n)$ est une filtration sur $G \times G'$ dite produit des filtrations de G et $G'$, qui est exhaustive (resp. séparée) si $(G_n)$ et $(G'_n)$ le sont.

Soit maintenant A un anneau filtré et soit $(A_n)$ sa filtration ; sur tout sous-anneau B de A, il est clair que la filtration induite par celle de A est compatible avec la structure d’anneau de B. Si b est un idéal bilatère de A, la filtration quotient de celle de A sur $A/b$ est compatible avec la structure de cet anneau, car on a $(A_n + b)(A_m + b) \subset A_{n+m} + b$. Si $A'$ est un second anneau filtré, la filtration produit sur $A \times A'$ est compatible avec la structure de cet anneau.

Soit enfin E un A-module filtré et soit $(E_n)$ sa filtration ; sur tout sous-module F de E, la filtration induite par celle de E est compatible avec la structure de A-module de F, et sur le module quotient $E/F$, la filtration quotient de celle de E est compatible avec la structure de A-module, car on a

On notera que si la filtration de E est déduite de celle de A (Exemple 2), il en est de même de la filtration quotient sur E/F, mais non en général de la filtration induite sur F (exerc. 1 ; voir cependant § 3, n° 2, th. 2).

Si E' est un second A-module filtré, la filtration produit sur E × E' est compatible avec la structure de A-module. Si les filtrations de E et E' sont déduites de celle de A (Exemple 2), il en est de même de leur filtration produit.