Remarque 2

Tout idéal fermé $a$ de $\prod_{\lambda \in L} \hat{A}_\lambda$ est identique au produit de ses projections $a_\lambda = \mathrm{pr}_\lambda(a)$, qui sont des idéaux fermés dans les $\hat{A}_\lambda$; en effet, $\hat{A}_\lambda$ s’identifie canoniquement à un idéal fermé $A'_\lambda$ de $\prod_{\lambda} \hat{A}_\lambda$ et $a_\lambda$ à $a \cap A'_\lambda$ (Alg., chap. I, § 8, no 10, prop. 6), la somme des $a_\lambda$ est dense dans le produit $\prod_{\lambda} a_\lambda$ (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 2, no 9, prop. 25) et ce dernier est fermé dans $\prod_{\lambda} \hat{A}_\lambda$, d’où notre assertion.