Théorème 1 (Hensel)

Soit $A$ un anneau commutatif linéairement topologisé, séparé et complet. Soit $m$ un idéal fermé de $A$, dont les éléments sont topologiquement nilpotents. Soient $B = A/m$ l’anneau topologique quotient, $\varphi : A \to B$ l’application canonique. Soient $R$ une série formelle restreinte dans $A\{X\}$, $\overline{P}$ un polynôme unitaire dans $B[X]$, $\overline{Q}$ une série formelle restreinte dans $B\{X\}$. On suppose que $\overline{\varphi}(R) = \overline{P}.\overline{Q}$ et que $\overline{P}$ et $\overline{Q}$ soient fortement étrangers dans $B\{X\}$. Alors il existe un couple $(P, Q)$ et un seul formé d’un polynôme unitaire $P \in A[X]$ et d’une série formelle restreinte $Q \in A\{X\}$ tel que

De plus $P$ et $Q$ sont fortement étrangers dans $A\{X\}$, et si $R$ est un polynôme, il en est de même de $Q$.

La démonstration se fait en quatre étapes. Dans les trois premières, on suppose que $A$ est discret, auquel cas $R$ et $\overline{Q}$ sont des polynômes.

1) $m^2 = 0$.

Soient $S, T$ deux polynômes de $A[X]$ tels que $S$ soit unitaire et que l’on ait $\overline{\varphi}(S) = \overline{P}, \overline{\varphi}(T) = \overline{Q}$; la prop. 2 du no 1 montre que $S$ et $T$ sont fortement étrangers ; donc (no 1, prop. 1) il existe un couple unique de polynômes $(S', T')$ de $A[X]$ tel que

Les polynômes $P = S + S', Q = T + T'$ répondent alors à la question ; on a en effet

Comme $\overline{P}$ est unitaire, $\overline{P}$ et $\overline{Q}$ fortement étrangers et

la prop. 1 du no 1 montre que $\overline{\varphi}(S') = \overline{\varphi}(T') = 0$, autrement dit les coefficients de $S'$ et $T'$ appartiennent à $m$, et la relation $m^2 = 0$ donne $PQ = ST + ST' + TS' = R$, ce qui vérifie les relations (4). Puisque $\overline{\varphi}(P) = \overline{P}$ et $\overline{\varphi}(Q) = \overline{Q}$, $P$ et $Q$ sont fortement étrangers (no 1, prop. 2) ; enfin, si $P_1, Q_1$ sont deux autres polynômes de $A[X]$ vérifiant (4) et tels que $P_1$ soit unitaire, on a nécessairement, en posant $S'_1 = P_1 - S, T'_1 = Q_1 - T, \deg(S'_1) < \deg(S)$ et $R - ST = ST'_1 + TS'_1$ puisque $S'_1$ et $T'_1$ ont leurs coefficients dans $m$; mais la prop. 1 prouve alors que $S' = S'_1$ et $T' = T'_1$, ce qui prouve l’unicité du couple $(P, Q)$.

2) $m$ est nilpotent.

Soit $n$ le plus petit entier tel que $m^n = 0$, et raisonnons par récurrence sur $n > 2$, le théorème étant démontré pour $n = 2$. Soient $A' = A/m^{n-1}$, $m' = m/m^{n-1}$; comme ${m'}^{n-1} = 0$, il existe un couple unique $(P', Q')$ de polynômes de $A'[X]$ tel que $P'$ soit unitaire, $R' = P'Q'$, $\bar{\psi}(P') = \bar{P}$ et $\bar{\psi}(Q') = \bar{Q}$, en désignant par $\psi$ l’homomorphisme canonique $A' \to A'/m' = B$, par $\theta$ l’homomorphisme canonique $A \to A'$ et en posant $R' = \bar{\theta}(R)$. D’autre part, comme $(m^{n-1})^2 = 0$, il existe un couple unique $(P, Q)$ de polynômes de $A[X]$ tel que $P$ soit unitaire et $R = PQ, \bar{\theta}(P) = P', \bar{\theta}(Q) = Q'$; comme $\varphi = \psi \circ \theta$, cela montre l’existence et l’unicité de $P$ et $Q$ vérifiant (4); en outre $P'$ et $Q'$ sont fortement étrangers par l’hypothèse de récurrence, donc il en est de même de $P$ et $Q$.

3) $A$ est discret.

On notera que dans ce cas $m$ n’est plus nécessairement nilpotent, mais c’est en tout cas un nilidéal par hypothèse. Soient $P_0, Q_0$ deux polynômes de $A[X]$ tels que $\bar{\varphi}(P_0) = \bar{P}, \bar{\varphi}(Q_0) = \bar{Q}$ et que $P_0$ soit unitaire. Considérons l’idéal $n$ de $A$ engendré par les coefficients de $R - P_0Q_0$; il est de type fini et contenu dans $m$, donc il est nilpotent (chap. II, § 2, no 6, prop. 15), et par définition, si $\psi : A \to A/n$ est l’application canonique, on a $\bar{\psi}(R) = \bar{\psi}(P_0)\bar{\psi}(Q_0)$. En outre, $\bar{\psi}(P_0)$ et $\bar{\psi}(Q_0)$ sont fortement étrangers, comme il résulte de l’hypothèse sur $\bar{P}$ et $\bar{Q}$ et de la prop. 2 du no 1 appliquée à l’homomorphisme canonique $A/n \to A/m$. En vertu du cas 2), il existe donc un couple $(P, Q)$ de polynômes de $A[X]$, tel que $P$ soit unitaire et que les relations (4) soient vérifiées. Le fait que $\bar{P}$ et $\bar{Q}$ sont fortement étrangers entraîne encore ici que $P$ et $Q$ sont fortement étrangers dans $A[X]$ en vertu du n° 1, prop. 2, car m est contenu dans le radical de A. Supposons enfin que P₁, Q₁ soient deux polynômes de A[X] vérifiant (4) et tels que P₁ soit unitaire, et soit n₁ l’idéal de type fini de A engendré par les coefficients de P − P₁ et les coefficients de Q − Q₁ ; comme n₁ est contenu dans m, il est nilpotent, et si ψ₁ : A → A/n₁ est l’application canonique on a $\bar{\psi}_1(P) = \bar{\psi}_1(P_1),\ \bar{\psi}_1(Q) = \bar{\psi}_1(Q_1)$; la propriété d’unicité du cas 2) entraîne donc P = P₁, Q = Q₁.

4) Cas général.

Soit $\mathscr{B}$ un système fondamental de voisinages de 0 dans A, formé d’idéaux de A. Pour tout $\mathfrak{J} \in \mathscr{B}$, soient $f_{\mathfrak{J}}$ l’application canonique $A \to A/\mathfrak{J}$, $\varphi_{\mathfrak{J}}$ l’application canonique

$g_{\mathfrak{J}}$ l’application canonique $B = A/m \to A/(m + \mathfrak{J})$, et posons $R_{\mathfrak{J}} = \bar{f}_{\mathfrak{J}}(R),\ \overline{P}_{\mathfrak{J}} = \bar{g}_{\mathfrak{J}}(\overline{P}),\ \overline{Q}_{\mathfrak{J}} = \bar{g}_{\mathfrak{J}}(\overline{Q})$. Comme chaque anneau $A/\mathfrak{J}$ est discret, on peut lui appliquer le cas 3), et on voit qu’il existe un couple unique $(P_{\mathfrak{J}}, Q_{\mathfrak{J}})$ de polynômes de $(A/\mathfrak{J})[X]$ tels que $P_{\mathfrak{J}}$ soit unitaire et $R_{\mathfrak{J}} = P_{\mathfrak{J}} Q_{\mathfrak{J}},\ \overline{\varphi}_{\mathfrak{J}}(P_{\mathfrak{J}}) = \overline{P}_{\mathfrak{J}},\ \overline{\varphi}_{\mathfrak{J}}(Q_{\mathfrak{J}}) = \overline{Q}_{\mathfrak{J}}$. L’unicité de ce couple entraîne que si $\mathfrak{J}' \subset \mathfrak{J},\ \mathfrak{J}' \in \mathscr{B}$, et si $f_{\mathfrak{J}\mathfrak{J}'} : A/\mathfrak{J}' \to A/\mathfrak{J}$ est l’application canonique, on a $P_{\mathfrak{J}} = \bar{f}_{\mathfrak{J}\mathfrak{J}'}(P_{\mathfrak{J}'}) , Q_{\mathfrak{J}} = \bar{f}_{\mathfrak{J}\mathfrak{J}'}(Q_{\mathfrak{J}'})$. Il résulte donc de l’identification canonique de $A\{X\}$ et de $\varprojlim_{\mathfrak{J}} (A/\mathfrak{J})[X]$ (n° 2, prop. 3) qu’il existe $P \in A\{X\}$ et $Q \in A\{X\}$ tels que $R = PQ$ et $\bar{f}_{\mathfrak{J}}(P) = P_{\mathfrak{J}},\ \bar{f}_{\mathfrak{J}}(Q) = Q_{\mathfrak{J}}$ pour tout $\mathfrak{J} \in \mathscr{B}$. En outre, on a $\bar{g}_{\mathfrak{J}}(\overline{P} - \overline{\varphi}(P)) = 0,\ \bar{g}_{\mathfrak{J}}(\overline{Q} - \overline{\varphi}(Q)) = 0$ pour tout $\mathfrak{J} \in \mathscr{B}$, ce qui signifie que pour tout $\mathfrak{J} \in \mathscr{B}$ les coefficients de $\overline{P} - \overline{\varphi}(P)$ et de $\overline{Q} - \overline{\varphi}(Q)$ appartiennent tous à $(m + \mathfrak{J})/m$. Mais comme m est fermé dans A, on a $\bigcap_{\mathfrak{J}} (m + \mathfrak{J}) = m$, d’où $\overline{P} = \overline{\varphi}(P),\ \overline{Q} = \overline{\varphi}(Q)$, et P et Q vérifient donc bien (4) ; en outre, comme les $P_{\mathfrak{J}}$ sont unitaires et de même degré, la série formelle restreinte P est un polynôme unitaire. Si $(P', Q')$ était un autre couple vérifiant (4) et tel que $P'$ soit un polynôme unitaire, on en déduirait que $R_{\mathfrak{J}} = \bar{f}_{\mathfrak{J}}(P')\bar{f}_{\mathfrak{J}}(Q'),\ \overline{\varphi}_{\mathfrak{J}}(\bar{f}_{\mathfrak{J}}(P')) = \overline{P}_{\mathfrak{J}}$ et $\overline{\varphi}_{\mathfrak{J}}(\bar{f}_{\mathfrak{J}}(Q')) = \overline{Q}_{\mathfrak{J}}$, et d’après l’unicité du cas 3), $\bar{f}_{\mathfrak{J}}(P') = P_{\mathfrak{J}},\ \bar{f}_{\mathfrak{J}}(Q') = Q_{\mathfrak{J}}$ pour tout $\mathfrak{J} \in \mathscr{B}$, ce qui entraîne $P = P'$ et $Q = Q'$. Montrons enfin que P et Q sont fortement étrangers ; en vertu du cas 3) et de la prop. 1 du no 1, pour tout $\mathscr{J} \in \mathscr{B}$, il existe un couple unique $(S_{\mathscr{J}}, T_{\mathscr{J}})$ de polynômes de $(A/\mathscr{J})[X]$ tels que

(7) $1 = P_{\mathscr{J}} S_{\mathscr{J}} + Q_{\mathscr{J}} T_{\mathscr{J}}$ et $\deg(T_{\mathscr{J}}) < \deg(P_{\mathscr{J}}) = \deg(\overline{P})$.

L’unicité de ce couple montre aussitôt que pour $\mathscr{J}' \in \mathscr{B}$, $\mathscr{J}' \subset \mathscr{J}$, on a $S_{\mathscr{J}} = \overline{f}_{\mathscr{J}\mathscr{J}'}(S_{\mathscr{J}'})$, $T_{\mathscr{J}} = \overline{f}_{\mathscr{J}\mathscr{J}'}(T_{\mathscr{J}'})$; compte tenu du no 2, prop. 3, on en conclut l’existence de deux séries formelles restreintes, $S, T$ de $A\{X\}$ telles que $S_{\mathscr{J}} = \overline{f}_{\mathscr{J}}(S)$, $T_{\mathscr{J}} = \overline{f}_{\mathscr{J}}(T)$ et $1 = PS + QT$.

Reste à voir que si $R$ est un polynôme, il en est de même de $Q$. Or, les $Q_{\mathscr{J}}$ sont des polynômes par construction, et comme $P_{\mathscr{J}}$ est unitaire, la relation $R_{\mathscr{J}} = P_{\mathscr{J}} Q_{\mathscr{J}}$ entraîne

pour tout $\mathscr{J} \in \mathscr{B}$; d’où aussitôt la conclusion par définition de $Q$.

C. Q. F. D.