Exemple 2

Soit $A = K[[Y]]$ l’anneau des séries formelles à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif $K$; muni de la topologie (Y)-adique, l’anneau $A$ est séparé et complet ($\S$ 2, no 6, cor. de la prop. 6) et l’application $f(Y) \to f(0)$ définit par passage au quotient un isomorphisme de $A/(Y)$ sur le corps $K$. En vertu du cor. 1, si $F(Y, X)$ est un polynôme en $X$ à coefficients dans $A$, et si $a$ est une racine simple de $F(0, X)$ dans $K$, il existe une série formelle et une seule $f(Y)$ telle que $f(0) = a$ et $F(Y, f(Y)) = 0$.