Exemple

Soient $a$ un idéal de l’anneau de polynômes $A = \mathbf{C}[X_1, ..., X_r]$, V la variété algébrique affine correspondante, $V_1, ..., V_p$ les composantes irréductibles de V. Si on prend pour M l’anneau $A/a$ des fonctions régulières sur V, les idéaux de $V_1, ..., V_p$ sont des idéaux premiers associés à M mais ce ne sont pas les seuls en général.

(*) Les résultats de ce chapitre ne dépendent d’aucun autre Livre de la deuxième partie, ni du chap. I, § 4 ou du chap. III, § 5.

Comme l’annulateur de 0 est A, un élément $x \in M$ dont l’annulateur est un idéal premier est nécessairement $\neq 0$. Dire qu’un idéal premier $p$ est associé à $M$ revient à dire que $M$ contient un sous-module isomorphe à $A/p$ (savoir $Ax$, pour tout $x \in M$ dont $p$ est l’annulateur).

Si un A-module $M$ est réunion d’une famille $(M_i)_{i \in I}$ de sous-modules il est clair que l’on a