Remarque 2

Supposons que $K'$ soit une extension galoisienne de $K$ et gardons les notations de la démonstration de la prop. 6; pour tout $\alpha$, soit $G^z_{\alpha}$ (resp. $G^T_{\alpha}$) le sous-groupe de $G$ formé des $\sigma$ dont la restriction à $A' \cap K_\alpha$ appartient à $G^z(p' \cap K_\alpha)$ (resp. à $G^T(p' \cap K_\alpha)$). La démonstration de la prop. 6 montre que ces sous-groupes sont fermés dans $G$, et que

En outre, l’ensemble des restrictions à $A' \cap K_\alpha$ des éléments de $G_z^\alpha$ (resp. $G_T^\alpha$) est le groupe $G_z(p' \cap K_\alpha)$ (resp. $G_T(p' \cap K_\alpha)$) tout entier, tout K-automorphisme de $K_\alpha$ se prolongeant en un élément de $G$.

Sous les mêmes hypothèses, l’anneau $A^z(p')$ (resp. $A^T(p')$) est réunion de la famille filtrante des $A^z(p' \cap K_\alpha)$ (resp. $A^T(p' \cap K_\alpha)$) : en effet, tout $x \in A^z(p')$ (resp. tout $x \in A^T(p')$) appartient à un des $K_\alpha$, et d’après ce qui précède, il existe un $\beta$ tel que $K_\alpha \subset K_\beta$ et que les restrictions à $A' \cap K_\alpha$ des éléments de $G_z(p')$ (resp. $G_T(p')$) soient les mêmes que les restrictions à $A' \cap K_\alpha$ des éléments de $G_z(p' \cap K_\beta)$ (resp. $G_T(p' \cap K_\beta)$), les groupes $G_z(p' \cap K_\alpha)$ et $G_T(p' \cap K_\beta)$ étant finis ; donc $x$ appartient à $A^z(p' \cap K_\beta)$ (resp. $A^T(p' \cap K_\beta)$).