Remarque 4

Soient $A$ un anneau intégralement clos, $K$ son corps des fractions, $K'$ une extension algébrique de degré fini de $K$, $A'$ la fermeture intégrale de $A$ dans $K'$. Alors, pour tout idéal premier $p$ de $A$, le nombre d’idéaux premiers de $A'$ au-dessus de $p$ est au plus $[K':K]_s$ (facteur séparable du degré de $K'$ sur $K$). En effet, on peut d’abord se borner au cas où $K'$ est une extension séparable de $K$, car en général $K'$ est extension radicielle de la plus grande extension séparable $K_0$ de $K$ contenue dans $K'$, on a $[K':K]_s = [K_0:K]$ par définition, et si $A_0$ est la fermeture intégrale de $A$ dans $K_0$, les idéaux premiers de $A_0$ et de $A'$ se correspondent biunivoquement (lemme 4). Supposons donc $K'$ séparable sur $K$, et soient $N$ l’extension galoisienne de $K$ engendrée par $K'$ dans une clôture algébrique de $K$, $G$ son groupe de Galois, $B$ la fermeture intégrale de $A$ dans $N$, $\mathfrak{P}$ un idéal premier de $B$ au-dessus de $p$. Soient $\mathscr{H}$ le groupe de Galois de $N$ sur $K'$, $G^z$ le groupe de décomposition de $\mathfrak{P}$; les idéaux premiers de $B$ au-dessus de $p$ sont les $s.\mathfrak{P}$ pour $s \in \mathscr{G}$ (no 2, th. 2), et la relation $s.\mathfrak{P} = s'.\mathfrak{P}$ signifie que $s' = sg$ où $g \in \mathscr{G}^z$. D’autre part, pour que $s.\mathfrak{P} \cap K' = s'.\mathfrak{P} \cap K'$, il faut et il suffit que $s'.\mathfrak{P} = ts.\mathfrak{P}$, où $t \in \mathscr{H}$ (no 2, th. 2), d’où finalement $s' = tsg$ avec $t \in \mathscr{H}$ et $g \in \mathscr{G}^z$. Le nombre des idéaux premiers de $A'$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ est donc égal au nombre de classes de $\mathscr{G}$ pour la relation d’équivalence « il existe $t \in \mathscr{H}$ et $g \in \mathscr{G}^z$ tels que $s' = tsg$ entre $s$ et $s'$; il est clair que ce nombre est au plus égal à l’indice $(\mathscr{G} : \mathscr{H})$, nombre de classes à droite de $\mathscr{G}$ suivant $\mathscr{H}$, et l’on a $(\mathscr{G} : \mathscr{H}) = [K' : K]$ par la théorie de Galois.