Remarque 2

Les conditions (VL$_{\text{I}}$) et (VL$_{\text{II}}$) montrent aussitôt que l’ensemble $\bar{v}^1(+\infty)$ est un idéal bilatère $\mathfrak{p}$ dans $\mathbf{C}$ distinct de $\mathbf{C}$ en vertu de (VL$_{\text{III}}$); en outre, si $x, y$ sont deux éléments de $\mathbf{C}$ tels que $v(xy) = +\infty$, il résulte de (VL$_{\text{I}}$) que l’on a nécessairement $v(x) = +\infty$ ou $v(y) = +\infty$; autrement dit, l’anneau quotient $\mathbf{C}/\mathfrak{p}$ n’a pas de diviseur de 0 autre que 0; on vérifie aussitôt que l’application $\bar{v} : \mathbf{C}/\mathfrak{p} \to \Gamma_\infty$ déduite de $v$ par passage au quotient est une valuation de $\mathbf{C}/\mathfrak{p}$, l’image réciproque de $+\infty$ par cette valuation se réduisant à 0.