Exemple 3

Soient G un groupe totalement ordonné et H un sous-groupe isolé de G. Si l’on désigne par $h(H)$ et $h(G/H)$ les hauteurs des groupes totalement ordonnés H et G/H, on a

puisque l’ensemble des sous-groupes isolés de G est totalement ordonné par inclusion. En particulier, si G est le produit lexicographique de deux groupes totalement ordonnés H et H', on a (cf. no 2, Exemple 2); ainsi le produit lexicographique $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ est de hauteur 2.

Par contre la hauteur de $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$, ordonné par plongement dans $\mathbf{R}$ (cf. § 3, no 4, fin de l’Exemple 6) est égale à 1 (cf. prop. 8 ci-dessous).