Corollaire 3

Supposons que $v$ soit de hauteur 1 et que les conditions équivalentes du th. 2 soient vérifiées; si $\hat{\mathbf{L}}_i$ est le complété de $\mathbf{L}$ pour $v_i'$, le degré $n_i = [\hat{\mathbf{L}}_i : \hat{K}]$ est égal à $e(v_i'/v)f(v_i'/v)$ pour tout $i$ et l’homomorphisme canonique

(no 2, prop. 2) est bijectif. Pour tout $x \in \mathbf{L}$, le polynôme caractéristique $\mathrm{Pc}_{L/K}(x; X)$ est égal au produit des polynômes caractéristiques $\mathrm{Pc}_{\hat{L}_i/\hat{K}}(x; X)$ ($1 \leq i \leq s$); en particulier, on a

(La dernière relation (9) a un sens, car on peut évidemment supposer que les $v_i'$, qui sont de hauteur 1 en vertu du cor. 2 de la prop. 1 du no 1, prennent, ainsi que $v$, leurs valeurs dans un sous-groupe de $\mathbf{R}$.

Comme les $v_i'$ sont deux à deux inéquivalentes et de hauteur 1, elles sont indépendantes, et la prop. 2 du no 2 montre donc que l’on a $e(v_i'/v)f(v_i'/v) \leq n_i$ pour tout $i$, et $\sum_{i=1}^s n_i \leq n$. La première assertion résulte donc de ces inégalités et de la relation $\sum_{i=1}^s e(v_i'/v)f(v_i'/v) = n$. Par l’isomorphisme $\varphi$, l’endomorphisme $z \to z(1 \otimes x)$ de $\hat{K} \otimes_K L$ (pour $x \in L$) se transporte en l’endomorphisme de $\prod_{i=1}^s \hat{L}_i$ laissant stable chacun des facteurs et se réduisant dans chaque facteur à la multiplication par $x$ (L étant plongé canoniquement dans son complété $\hat{L}_i$); d’où l’assertion relative au polynôme caractéristique de $x$ et les deux premières formules (9). Enfin, soit E une extension quasi-galoisienne de $\hat{K}$ de degré fini, contenant $\hat{L}_i$; comme $\hat{K}$ est complet et $\hat{v}$ de hauteur 1, il n’existe (à une équivalence près) qu’une seule valuation $v$ sur E prolongeant $\hat{v}$ (no 2, cor. 1 de la prop. 2); pour tout $\hat{K}$-automorphisme $\sigma$ de E, on a donc $v(\sigma(x)) = v_i'(x)$. Par suite $\hat{v}(\mathrm{N}_{\hat{L}_i/\hat{K}}(x)) = n_i v_i'(x)$ (Alg., chap. VIII, § 12, no 2, formule (15)), ce qui prouve la troisième formule (9).