Remarque 2

Une partie des résultats précédents s’étend au cas des valuations sur un corps $K$ non nécessairement commutatif (cf. § 3, no 1). Soit $L$ un surcorps de $K$, et soient $v'$ une valuation sur $L$, $v$ sa restriction à $K$, $A'$ et $A$ les anneaux respectifs des valuations $v'$ et $v$; on définit alors l’indice de ramification $e(v'/v)$ comme au no 1; d’autre part, $\kappa(A)$ s’identifie à un sous-corps de $\kappa(A')$, et l’on appelle rang résiduel (à gauche) de $v'$ par rapport à $v$ le nombre $f(v'/v)$ égal à la dimension du $\kappa(A)$-espace vectoriel à gauche $\kappa(A')$, lorsque cette dimension est finie, et $+\infty$ dans le cas contraire. Alors, si $L$ est un $K$-espace vectoriel à gauche de dimension finie $n$, le lemme 2 du no 1 et sa démonstration subsistent sans changement. En outre, si $K$ est complet pour $v$, les assertions du cor. 2 du th. 2 du no 5 (autres que l’existence de $v'$) sont encore valables ($n$ désignant la dimension de $L$ comme $K$-espace vectoriel à gauche) avec la démonstration suivante:

En premier lieu la topologie définie par $v'$ sur $L$ est séparée et compatible avec sa structure de $K$-espace vectoriel à gauche, donc deux prolongements de $v$ à $L$ donnent sur $L$ la même topologie ($§ 5$, no 2, prop. 4), ce qui prouve que ces prolongements sont les mêmes à une équivalence près ($§ 6$, no 2). Montrons ensuite que si $m = m(A)$, $A'/mA'$ est un $(A/m)$-espace vectoriel à gauche de dimension $e(v'/v)f(v'/v)$. En effet, posons $e = e(v'/v)$; on peut supposer que $v(K^*) = \mathbf{Z}$, $v'(L^*) = e^{-1}\mathbf{Z}$; soient $u'$ un élément de $L$ tel que $v'(u') = e^{-1}$, $u$ un élément de $K$ tel que $v(u) = 1$; on a donc $u = {zu'}^e$, où $z \in L$ est tel que $v'(z) = 0$. Comme $m$ est engendré par $u$ (comme idéal à gauche ou à droite de $A$), on a $mA' = {u'}^eA' = A'{u'}^e$, et il suffit de prouver que, pour $0 \leq k \leq e - 1$, $A'{u'}^k/A'{u'}^{k+1}$ est un $(A/m)$-espace vectoriel à gauche de dimension $f(v'/v)$. Mais $t \to {tu'}^k$ est un isomorphisme du $A$-module à gauche $A'$ sur le $A$-module à gauche $A'{u'}^k$, transformant $A'u'$ en $A'{u'}^{k+1}$, et qui donne donc par passage aux quotients un $(A/m)$-isomorphisme de $A'/A'u'$ sur $A'{u'}^k/A'{u'}^{k+1}$, d'où notre assertion par définition de $f(v'/v)$, $u'$ engendrant l'idéal maximal de $A'$. On termine la démonstration comme lorsque $K$ et $L$ sont commutatifs (le fait qu'un $A$-module sans torsion de type fini est libre se démontrant comme au , no 6, lemme 1)