Remarque 2

Étiquette 0CIJ, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0CIJ].

Commutative Algebra, chapter VI, § 8. Prolongements d’une valuation à une extension algébrique

Nous savons que les complétés $\hat{K}$ et $\hat{L}_i$ sont isomorphes à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ (§ 6, no 4, th. 2). Lorsque $\hat{K}$ est isomorphe à $\mathbf{C}$ , il en est de même de $\hat{L}_i$ pour tout i, et (10) montre que le nombre des prolongements $f'_i$ est égal à n. Lorsque $\hat{K}$ est isomorphe à $\mathbf{R}$ (par exemple lorsque $K = \mathbf{Q}$ ), notons $r_1$ (resp. $r_2$ ) le nombre d’indices i tels que $\hat{L}_i$ soit isomorphe à $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$ ); alors (10) s’écrit:

r_1 + 2r_2 = n.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.