Exemple 3

Soient F un corps, et $(R_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie de sous-anneaux de F qui soient des anneaux de Krull. Alors leur intersection $S = \bigcap_{j=1}^n R_j$ est un anneau de Krull. En effet, pour $1 \leq j \leq n$, soit $(v_{ji})_{i \in I_j}$ une famille de valuations du corps des fractions de $R_j$ vérifiant (AK_I), (AK_{II}), (AK_{III}) (où A est remplacé par $R_j$). Notons $w_{ji}$ la restriction de $v_{ji}$ au corps des fractions de S. Alors la famille $(v_{ji})_{1 \leq j \leq n, i \in I_j}$ vérifie évidemment (AK_{II}) (où A est remplacé par S), et aussi (AK_{III}) puisque l’ensemble des indices j est fini. Les valuations $w_{ji}$ sont, soit discrètes, soit impropres. En ne gardant que celles qui sont discrètes, on obtient évidemment une famille vérifiant (AK_I), (AK_{II}) et (AK_{III}) (où A est remplacé par S). Donc S est bien un anneau de Krull.